ทฤษฎีคานของออยเลอร์-แบร์นุลลี

ทฤษฎีคานของออยเลอร์-แบร์นุลลี (Euler–Bernoulli beam theory) หรือที่รู้จักในชื่อ ทฤษฎีคานทางวิศวกรรม (Engineer's beam theory) หรือ ทฤษฎีคานแบบคลาสสิก (Classical beam theory) เป็นการลดรูปของทฤษฎีความยืดหยุ่นเชิงเส้น (Linear theory of elasticity) เพื่อใช้ในการคำนวณความสามารถในการรับน้ำหนักและการโก่งตัวของคานเมื่อได้รับแรงกระทำ

หลักการพื้นฐาน

เมื่อมีแรงภายนอกมากระทำต่อคาน จะเกิดแรงเฉือนภายใน (Internal shear forces) และโมเมนต์ดัด (Bending moments) ซึ่งส่งผลให้คานเกิดการดัดโค้ง ทฤษฎีนี้มีข้อกำหนดสำคัญดังนี้:

• แรงเฉือน: แรงเฉือน ณ จุดใดจุดหนึ่งบนคาน คือผลรวมสะสมของน้ำหนักบรรทุกที่กระทำตลอดความยาวของคานจนถึงจุดนั้น
• โมเมนต์ดัด: โมเมนต์ดัด ณ จุดใดจุดหนึ่ง คือผลรวมของแรงเฉือนตลอดความยาวของคานจนถึงจุดนั้น
• การโก่งตัว: การโก่งตัว (Deflection) ณ จุดใดจุดหนึ่งบนคาน คือผลการอินทิเกรตอันดับที่สี่ของน้ำหนักบรรทุกที่กระทำ ซึ่งค่านี้จะขึ้นอยู่กับความแข็งเกร็งต่อการดัด (Flexural rigidity)

ทฤษฎีนี้ใช้แคลคูลัสและเงื่อนไขขอบเขต (Boundary conditions) เพื่อสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในการทำนายพฤติกรรมทางโครงสร้างของคาน โดยมีข้อจำกัดคือใช้ได้กับคานที่มีการโก่งตัวน้อยและได้รับแรงกระทำในแนวขวาง (Lateral loads) เท่านั้น ซึ่งทำให้เกิดการดัดแบบยืดหยุ่น (Elastic bending)

ประวัติและการพัฒนา

เป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไปว่า กาลิเลโอ กาลิเลอี (Galileo Galilei) เป็นผู้เริ่มพยายามพัฒนาทฤษฎีคานเป็นคนแรกๆ อย่างไรก็ตาม การศึกษาในระยะหลังชี้ว่า เลโอนาร์โด ดา วินชี (Leonardo da Vinci) อาจเป็นผู้สังเกตเห็นประเด็นสำคัญก่อน แต่ขาดความรู้ด้านกฎของฮุค (Hooke's law) และแคลคูลัสในการทำให้ทฤษฎีสมบูรณ์

ในปี ค.ศ. 1705 ยาคอบ แบร์นุลลี (Jacob Bernoulli) ได้เสนอว่าความโค้งของคานที่โก่งตัว ณ จุดใดจุดหนึ่ง จะแปรผันตรงกับโมเมนต์ดัด ณ จุดนั้น ต่อมา เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (Leonhard Euler) ได้นำงานของยาคอบมาต่อยอดโดยใช้แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์เพื่ออธิบายพฤติกรรมของเส้นโค้งยืดหยุ่น และตีพิมพ์ในผลงาน Methodus inveniendi lineas curvas ในปี ค.ศ. 1744 นอกจากนี้ แดเนียล แบร์นุลลี (Daniel Bernoulli) ยังได้พัฒนาสมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่ของคานที่สั่นสะเทือนอีกด้วย

สมการคานสถิต (Static Beam Equation)

สมการของออยเลอร์-แบร์นุลลี อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างการโก่งตัวของคานและน้ำหนักบรรทุกที่กระทำ ดังนี้:

โดยที่:

• w(x): คือเส้นโค้งการโก่งตัวของคานในแนวแกน z ณ ตำแหน่ง x (แบบจำลองคานเป็นวัตถุหนึ่งมิติ)
• q: คือน้ำหนักบรรทุกแบบกระจาย (Distributed load) หรือแรงต่อหน่วยความยาว ซึ่งอาจเป็นฟังก์ชันของ x, w หรือตัวแปรอื่นๆ
• E: คือโมดูลัสความยืดหยุ่น (Elastic modulus) ของวัสดุ
• I: คือโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่หน้าตัด (Second moment of area) ของคาน ซึ่งต้องคำนวณเทียบกับแกนที่ตั้งฉากกับทิศทางของแรงที่มากระทำ

สำหรับการคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อย (I) ของหน้าตัดในระนาบ yz เมื่อแรงกระทำในแนวแกน z จะใช้สูตร:

การประยุกต์ใช้และข้อจำกัด

ทฤษฎีนี้ถูกนำมาใช้อย่างแพร่หลายในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 โดยเฉพาะในการก่อสร้างหอไอเฟล (Eiffel Tower) และชิงช้าสวรรค์ (Ferris wheel) ซึ่งส่งผลให้ทฤษฎีนี้กลายเป็นรากฐานสำคัญของวิศวกรรมศาสตร์และเป็นตัวขับเคลื่อนการปฏิวัติอุตสาหกรรมครั้งที่สอง

อย่างไรก็ตาม ในศตวรรษที่ 20 ทฤษฎีคานได้รับการพัฒนาให้ละเอียดขึ้นเพื่อพิจารณาผลของการเสียรูปจากแรงเฉือน (Shear deformation) และความเฉื่อยของการหมุน (Rotatory inertia) ซึ่งนำไปสู่ ทฤษฎีคานของทิโมเชนโก-เอห์เรนเฟสต์ (Timoshenko–Ehrenfest beam theory) โดยทฤษฎีของออยเลอร์-แบร์นุลลีจะถูกมองว่าเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีทิโมเชนโกที่ละทิ้งผลกระทบเหล่านี้

รูปภาพประกอบส่วนประกอบของสมการ

เพื่อให้เห็นภาพรวมของตัวแปรในสมการคานสถิต สามารถอ้างอิงได้จากแผนภาพต่อไปนี้:

• ตำแหน่งบนคาน:

  

• ทิศทางแรงกระทำ:

  

• การโก่งตัว:

  

• น้ำหนักบรรทุก:

  

• คุณสมบัติวัสดุ:

  

• โมเมนต์ความเฉื่อย: