การทดสอบโกลด์เฟลด์-ควอนด์

การทดสอบโกลด์เฟลด์-ควอนด์ (Goldfeld–Quandt test) เป็นวิธีการทางสถิติที่ใช้สำหรับตรวจสอบปัญหา ความแปรปรวนไม่คงที่ (Heteroscedasticity) ในแบบจำลองการวิเคราะห์การถดถอย (Regression Analysis) โดยหลักการสำคัญคือการแบ่งชุดข้อมูลออกเป็นสองกลุ่มเพื่อเปรียบเทียบความแปรปรวนของค่าคลาดเคลื่อน (Error terms) ระหว่างสองกลุ่มนั้น ด้วยเหตุนี้ การทดสอบนี้จึงมักถูกเรียกว่า "การทดสอบแบบสองกลุ่ม" (Two-group test)

การทดสอบนี้ถูกนำเสนอครั้งแรกในปี ค.ศ. 1965 โดย Stephen Goldfeld และ Richard Quandt ในบทความวิชาการฉบับหนึ่ง ซึ่งได้นำเสนอวิธีการทดสอบทั้งแบบพารามิเตอร์ (Parametric) และแบบนอนพารามิเตอร์ (Nonparametric) อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ คำว่า "การทดสอบโกลด์เฟลด์-ควอนด์" มักจะถูกใช้เพื่อสื่อถึงการทดสอบแบบพารามิเตอร์เป็นหลัก

หลักการของการทดสอบ

ในการวิเคราะห์การถดถอยแบบตัวแปรเดียวหรือหลายตัวแปร สมมติฐานที่ต้องการทดสอบคือ ความแปรปรวนของค่าคลาดเคลื่อนในแบบจำลองไม่ได้มีค่าคงที่ แต่มีความสัมพันธ์เชิงเดี่ยว (Monotonic relationship) กับตัวแปรอิสระ (Explanatory variable) ตัวหนึ่งที่กำหนดไว้ล่วงหน้า

ตัวอย่างเช่น หากนักวิจัยศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างรายได้และการบริโภค และพบว่าความแปรปรวนของการบริโภคเพิ่มสูงขึ้นตามระดับรายได้ที่เพิ่มขึ้น ในกรณีนี้ "รายได้" จะถูกใช้เป็นตัวแปรอิสระในการตรวจสอบความแปรปรวนไม่คงที่

การทดสอบแบบพารามิเตอร์ (Parametric Test)

การทดสอบแบบพารามิเตอร์ดำเนินการโดยการแบ่งชุดข้อมูลเดิมออกเป็นสองส่วนย่อย โดยเรียงลำดับข้อมูลตามตัวแปรอิสระที่เลือกไว้ จากนั้นแบ่งกลุ่มข้อมูลที่มีค่าต่ำสุดไว้ในกลุ่มหนึ่ง และกลุ่มที่มีค่าสูงสุดไว้ในอีกกลุ่มหนึ่ง ซึ่งทั้งสองกลุ่มไม่จำเป็นต้องมีขนาดเท่ากัน และไม่จำเป็นต้องรวมข้อมูลทั้งหมดในชุดข้อมูลเดิม (อาจมีการตัดข้อมูลบางส่วนตรงกลางออก)

การทดสอบนี้มีข้อสมมติพื้นฐานว่าค่าคลาดเคลื่อนมีการแจกแจงแบบปกติ (Normal distribution) และเมทริกซ์การออกแบบ (Design matrices) ของทั้งสองกลุ่มต้องมีลำดับเต็ม (Full rank) สถิติทดสอบที่ใช้คืออัตราส่วนของค่าเฉลี่ยกำลังสองของส่วนที่เหลือ (Mean square residual errors) จากการถดถอยของทั้งสองกลุ่ม ซึ่งสถิตินี้จะสอดคล้องกับการทดสอบ F (F-test) เพื่อตรวจสอบความเท่ากันของความแปรปรวน

การตัดข้อมูลบางส่วนในช่วงกลางของการเรียงลำดับออก จะช่วยเพิ่มอำนาจการทดสอบ (Power of the test) แต่จะทำให้องศาอิสระ (Degrees of freedom) ของสถิติทดสอบลดลง โดยทั่วไปมักมีการตัดข้อมูลส่วนกลางออกประมาณหนึ่งในสามของจำนวนข้อมูลทั้งหมด โดยสัดส่วนการตัดข้อมูลจะลดลงเมื่อขนาดกลุ่มตัวอย่างเพิ่มขึ้น

การทดสอบแบบนอนพารามิเตอร์ (Nonparametric Test)

การทดสอบแบบนอนพารามิเตอร์ไม่จำเป็นต้องอาศัยข้อสมมติว่าค่าคลาดเคลื่อนมีการแจกแจงแบบปกติ โดยมีขั้นตอนดังนี้:

• สร้างแบบจำลองการถดถอยเพียงชุดเดียวสำหรับข้อมูลทั้งหมด
• คำนวณค่าส่วนที่เหลือยกกำลังสอง (Squared residuals) และเรียงลำดับตามตัวแปรอิสระที่กำหนด
• สถิติทดสอบคือจำนวน "จุดสูงสุด" (Peaks) ในรายการนี้ โดยจุดสูงสุดหมายถึงกรณีที่ค่าส่วนที่เหลือยกกำลังสองมีค่ามากกว่าค่าก่อนหน้าทั้งหมดในรายการ

ค่าวิกฤตสำหรับการทดสอบนี้จะถูกสร้างขึ้นโดยใช้หลักการที่เกี่ยวข้องกับการทดสอบแบบการสลับที่ (Permutation tests)

ข้อดีและข้อจำกัด

ข้อดี

การทดสอบโกลด์เฟลด์-ควอนด์ แบบพารามิเตอร์ เป็นเครื่องมือวินิจฉัยที่เรียบง่ายและเข้าใจง่ายสำหรับการตรวจสอบความแปรปรวนไม่คงที่ในแบบจำลองการถดถอย

ข้อจำกัด

• ความจำเป็นในการระบุตัวแปร: การทดสอบนี้ต้องการให้ผู้ใช้ระบุตัวแปรอิสระที่ส่งผลต่อความแปรปรวนได้อย่างถูกต้อง หากโครงสร้างความแปรปรวนขึ้นอยู่กับตัวแปรที่ไม่ได้สังเกตหรือตัวแปรที่ไม่ทราบค่า การทดสอบนี้จะไม่สามารถให้คำแนะนำที่มีประสิทธิภาพได้
• ความสัมพันธ์เชิงเดี่ยว: ความแปรปรวนของค่าคลาดเคลื่อนต้องเป็นฟังก์ชันเชิงเดี่ยวของตัวแปรอิสระ หากความสัมพันธ์เป็นแบบเส้นโค้ง (เช่น ฟังก์ชันกำลังสอง) การทดสอบอาจยอมรับสมมติฐานว่าง (Null hypothesis) ว่ามีความแปรปรวนคงที่ ทั้งที่ในความเป็นจริงมีความแปรปรวนไม่คงที่
• ความทนทานต่อข้อผิดพลาด: การทดสอบนี้ไม่ทนทานต่อข้อผิดพลาดในการกำหนดแบบจำลอง (Specification errors) โดยไม่สามารถแยกแยะระหว่างปัญหาความแปรปรวนไม่คงที่ กับปัญหาการเลือกรูปแบบฟังก์ชันที่ผิด หรือการละเว้นตัวแปรสำคัญ (Omitted variable)

ทั้งนี้ Jerry Thursby ได้นำเสนอการปรับปรุงการทดสอบโกลด์เฟลด์-ควอนด์ โดยใช้การดัดแปลงจากการทดสอบ Ramsey RESET เพื่อเพิ่มความทนทานในการวินิจฉัย

คุณสมบัติในกลุ่มตัวอย่างขนาดเล็ก

Herbert Glejser ได้ทำการทดลองจำลองกลุ่มตัวอย่างขนาดเล็กในปี ค.ศ. 1969 และพบว่าการทดสอบโกลด์เฟลด์-ควอนด์ มีประสิทธิภาพจำกัด ยกเว้นในกรณีของ "ความแปรปรวนไม่คงที่แบบบริสุทธิ์" (Pure heteroskedasticity) ซึ่งความแปรปรวนสามารถอธิบายได้ด้วยตัวแปรอิสระเพียงตัวเดียวเท่านั้น

การนำไปใช้ในซอฟต์แวร์

ในภาษา R สามารถดำเนินการทดสอบโกลด์เฟลด์-ควอนด์ ได้ผ่านแพ็กเกจ lmtest (สำหรับการทดสอบ F แบบพารามิเตอร์) และแพ็กเกจ skedastic (สำหรับทั้งการทดสอบ F แบบพารามิเตอร์และการทดสอบจุดสูงสุดแบบนอนพารามิเตอร์)