ทฤษฎีโมห์ร-คูลอมบ์ การวิเคราะห์กำลังรับแรงเฉือนของวัสดุเปราะ

ทฤษฎีโมห์ร-คูลอมบ์ (Mohr–Coulomb theory) เป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ใช้อธิบายพฤติกรรมการตอบสนองของวัสดุประเภทเปราะ (Brittle materials) เช่น คอนกรีต หรือกองเศษหิน เมื่อได้รับแรงเฉือน (Shear stress) และความเค้นปกติ (Normal stress) โดยทฤษฎีนี้มีบทบาทสำคัญอย่างยิ่งในวัสดุศาสตร์และวิศวกรรมศาสตร์ เนื่องจากวัสดุวิศวกรรมส่วนใหญ่จะมีพฤติกรรมการวิบัติที่สอดคล้องกับกฎนี้ในบางส่วนของเส้นขอบเขตการวิบัติ (Failure envelope)

โดยทั่วไป ทฤษฎีนี้จะนำมาใช้กับวัสดุที่มีคุณสมบัติเด่นคือ กำลังรับแรงอัด (Compressive strength) สูงกว่ากำลังรับแรงดึง (Tensile strength) อย่างมาก

การประยุกต์ใช้ในงานวิศวกรรม

ทฤษฎีโมห์ร-คูลอมบ์ถูกนำไปใช้งานในหลากหลายสาขา ดังนี้:

• วิศวกรรมปฐพี (Geotechnical Engineering): ใช้เพื่อกำหนดกำลังรับแรงเฉือนของดินและหินภายใต้ความเค้นประสิทธิผล (Effective stresses) ที่แตกต่างกัน ซึ่งจำเป็นต่อการออกแบบฐานรากและกำแพงกันดิน
• วิศวกรรมโครงสร้าง (Structural Engineering): ใช้ในการคำนวณน้ำหนักบรรทุกวิกฤต (Failure load) และวิเคราะห์มุมของการแตกหัก (Angle of fracture) ในคอนกรีตและวัสดุที่คล้ายคลึงกัน

ในเชิงเทคนิค จะมีการใช้ สมมติฐานแรงเสียดทานของคูลอมบ์ (Coulomb's friction hypothesis) เพื่อหาจุดรวมของแรงเฉือนและความเค้นปกติที่จะทำให้วัสดุเกิดการแตกหัก และใช้ วงกลมของโมห์ร (Mohr's circle) เพื่อระบุว่าความเค้นหลัก (Principal stresses) ค่าใดที่จะทำให้เกิดสภาวะดังกล่าว รวมถึงระบุระนาบที่เกิดการวิบัติ

ประวัติการพัฒนา

ทฤษฎีนี้ตั้งชื่อเพื่อเป็นเกียรติแก่ ชาร์ล-ออกัสติน เดอ คูลอมบ์ (Charles-Augustin de Coulomb) และ คริสเตียน ออตโต โมห์ร (Christian Otto Mohr) โดยคูลอมบ์ได้นำเสนอแนวคิดพื้นฐานในเรียงความปี ค.ศ. 1776 เกี่ยวกับกฎของค่าสูงสุดและต่ำสุดในปัญหาทางสถิตยศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับสถาปัตยกรรม ต่อมาในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 โมห์รได้พัฒนาทฤษฎีนี้ให้เป็นรูปแบบทั่วไป (Generalised form) ซึ่งช่วยให้การตีความเกณฑ์การวิบัติมีความชัดเจนและครอบคลุมมากขึ้น

เกณฑ์การวิบัติของโมห์ร-คูลอมบ์ (Mohr–Coulomb Failure Criterion)

เกณฑ์การวิบัติของโมห์ร-คูลอมบ์ แสดงผลเป็นเส้นตรง (Linear envelope) ที่ได้จากการพล็อตความสัมพันธ์ระหว่างกำลังรับแรงเฉือนของวัสดุกับความเค้นปกติที่กระทำ ซึ่งสามารถเขียนเป็นสมการได้ดังนี้:

τ = σ tan(φ) + c

โดยที่ตัวแปรต่างๆ มีความหมายดังนี้:

• τ (Tau): กำลังรับแรงเฉือน (Shear strength)
• σ (Sigma): ความเค้นปกติ (Normal stress) โดยทั่วไปในทางปฐพีกลศาสตร์จะกำหนดให้แรงอัดมีค่าเป็นบวก
• c: แรงยึดเหนี่ยว (Cohesion) คือจุดตัดของเส้นขอบเขตการวิบัติกับแกน τ
• φ (Phi): มุมเสียดทานภายใน (Angle of internal friction) โดยค่า tan(φ) คือความชันของเส้นขอบเขตการวิบัติ

ความสัมพันธ์เชิงพลังงานและการวิบัติ

ตามหลักการของความปกติ (Principle of normality) ความเค้นที่เกิดขึ้นขณะวิบัติจะมีทิศทางตั้งฉากกับเส้นที่อธิบายเงื่อนไขการแตกหัก นอกจากนี้ยังสามารถพิสูจน์ได้ว่า วัสดุที่วิบัติตามสมมติฐานของคูลอมบ์จะมีการเคลื่อนตัวขณะวิบัติทำมุมกับเส้นการแตกหักเท่ากับมุมเสียดทาน ซึ่งทำให้สามารถคำนวณน้ำหนักบรรทุกวิกฤตได้โดยการเปรียบเทียบงานทางกลภายนอกกับงานทางกลภายในตามกฎการอนุรักษ์พลังงาน

การพัฒนาและแบบจำลองทางเลือก

เพื่อให้แบบจำลองมีความแม่นยำมากขึ้น มักมีการนำสมมติฐานแรงเสียดทานของคูลอมบ์มาผสมผสานกับ สมมติฐานความเค้นหลักของแรนคิน (Rankine's principal stress hypothesis) เพื่ออธิบายการวิบัติแบบแยกตัว (Separation fracture) นอกจากนี้ยังมีมุมมองทางเลือกที่มองว่าเกณฑ์ของโมห์ร-คูลอมบ์เป็นการขยายตัวของการวิบัติ (Extension failure)