คณิตศาสตร์บริสุทธิ์

ในบริบทของปรัชญาคณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์บริสุทธิ์ (Pure Mathematics) เป็นคำเรียกอย่างไม่เป็นทางการที่ใช้ระบุถึงการศึกษาแนวคิดทางคณิตศาสตร์โดยเป็นอิสระจากการประยุกต์ใช้ภายนอกสาขาวิชาคณิตศาสตร์ แม้ว่าแนวคิดเหล่านี้อาจมีจุดเริ่มต้นมาจากปัญหาในโลกความเป็นจริง และผลลัพธ์ที่ได้อาจถูกนำไปใช้ประโยชน์ในทางปฏิบัติในภายหลัง แต่แรงจูงใจหลักในการวิจัยคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ไม่ได้เกิดจากความต้องการในการประยุกต์ใช้ แต่เกิดจากความท้าทายทางสติปัญญาและความสวยงามทางสุนทรียศาสตร์ในการนิยามวัตถุทางคณิตศาสตร์ใหม่ๆ หรือการหาข้อสรุปทางคณิตศาสตร์จากหลักการพื้นฐาน

ความแตกต่างระหว่างคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และคณิตศาสตร์ประยุกต์

ความแตกต่างระหว่างคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และคณิตศาสตร์ประยุกต์มีมาตั้งแต่สมัยกรีกโบราณ แต่แนวคิดนี้ได้รับการขยายความอย่างชัดเจนในช่วงปี ค.ศ. 1900 หลังจากมีการนำเสนอทฤษฎีที่มีคุณสมบัติขัดกับสัญชาตญาณ เช่น เรขาคณิตนอกแบบยุคลิด (Non-Euclidean geometries) และทฤษฎีเซตอนันต์ของคันทอร์ (Cantor's theory of infinite sets) รวมถึงการค้นพบพาราด็อกซ์ต่างๆ เช่น ฟังก์ชันต่อเนื่องที่ไม่มีอนุพันธ์ในทุกจุด และพาราด็อกซ์ของรัสเซลล์ (Russell's paradox)

เหตุการณ์เหล่านี้ทำให้เกิดความจำเป็นในการปรับปรุงความเข้มงวดทางคณิตศาสตร์ (Mathematical rigor) และการเขียนตำราคณิตศาสตร์ใหม่ทั้งหมดโดยใช้ระเบียบวิธีแบบสัจพจน์ (Axiomatic methods) อย่างเป็นระบบ อย่างไรก็ตาม ในปัจจุบัน เส้นแบ่งระหว่างคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และคณิตศาสตร์ประยุกต์มักถูกมองว่าเป็นเรื่องของมุมมองทางปรัชญาหรือความชอบส่วนบุคคลมากกว่าจะเป็นการแบ่งแยกสาขาวิชาอย่างเด็ดขาด เนื่องจากทฤษฎีที่เคยถูกมองว่าบริสุทธิ์อย่างสิ้นเชิงมักถูกนำไปใช้ในสาขาฟิสิกส์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ในเวลาต่อมา

ตัวอย่างการเปลี่ยนผ่านจากทฤษฎีบริสุทธิ์สู่การประยุกต์ใช้

• กฎแรงโน้มถ่วงสากลของนิวตัน: ไอแซก นิวตัน พิสูจน์ว่ากฎแรงโน้มถ่วงส่งผลให้ดาวเคราะห์เคลื่อนที่เป็นวงโคจรแบบภาคตัดกรวย (Conic sections) ซึ่งเป็นเส้นโค้งทางเรขาคณิตที่ถูกศึกษามาตั้งแต่สมัยโบราณโดย อพอลโลเนียส
• ระบบรหัสลับ RSA: การแยกตัวประกอบของจำนวนเต็มขนาดใหญ่ ซึ่งเป็นหัวข้อในทฤษฎีจำนวน (Number Theory) ที่ดูเหมือนจะเป็นคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ ได้กลายเป็นรากฐานสำคัญของระบบ RSA ที่ใช้รักษาความปลอดภัยในการสื่อสารทางอินเทอร์เน็ตในปัจจุบัน

ประวัติศาสตร์และพัฒนาการ

ยุคกรีกโบราณและแนวคิดแบบเพลโต

นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกเป็นกลุ่มแรกๆ ที่แยกความแตกต่างระหว่างคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์ เพลโต (Plato) ได้สร้างช่องว่างระหว่าง "เลขคณิต" (Arithmetic) ซึ่งปัจจุบันเรียกว่าทฤษฎีจำนวน และ "โลจิสติกส์" (Logistic) ซึ่งปัจจุบันเรียกว่าเลขคณิตพื้นฐาน โดยเพลโตมองว่าโลจิสติกส์เหมาะสำหรับนักธุรกิจและทหาร ส่วนเลขคณิต (ทฤษฎีจำนวน) เหมาะสำหรับนักปรัชญาเพื่อเข้าถึง "ความจริงแท้"

อพอลโลเนียสแห่งเพอร์กา (Apollonius of Perga) เคยกล่าวถึงทฤษฎีบทในหนังสือ Conics ของเขาว่า สิ่งเหล่านี้ควรค่าแก่การยอมรับด้วยตัวการพิสูจน์เอง โดยไม่ต้องคำนึงถึงประโยชน์ใช้สอย ซึ่งสะท้อนถึงแนวคิดที่ว่าคณิตศาสตร์บางเรื่องควรค่าแก่การศึกษาเพื่อตัวมันเอง

แนวคิดแบบอริสโตเติล

ในขณะที่เพลโตเน้นความบริสุทธิ์ทางตรรกะ อริสโตเติล (Aristotle) และสำนักของเขากลับมีแนวทางเชิงทดลองและไม่แยกคณิตศาสตร์ออกจากฟิสิกส์อย่างเด็ดขาด ความขัดแย้งระหว่างแนวคิดแบบเพลโต (Platonism) และอริสโตเติล (Aristotelianism) นี้ยังคงปรากฏให้เห็นในคณิตศาสตร์สมัยใหม่

ศตวรรษที่ 19 และการก่อตัวของสาขาวิชา

คำว่า "คณิตศาสตร์บริสุทธิ์" เริ่มปรากฏชัดเจนขึ้นในช่วงกลางศตวรรษที่ 19 เช่นในชื่อตำแหน่งศาสตราจารย์ Sadleirian Professor of Pure Mathematics ในยุคของ คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ (Carl Friedrich Gauss) ยังไม่มีการแบ่งแยกที่ชัดเจนนัก แต่ต่อมาการมีความเชี่ยวชาญเฉพาะทางและการสร้างระบบวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ของไวเออร์สตราส (Weierstrass) เริ่มทำให้รอยแยกนี้ชัดเจนขึ้น

ปัญหาเรื่องอนันต์และสัจพจน์ในศตวรรษที่ 20

ในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 และต้นศตวรรษที่ 20 การอภิปรายเรื่อง "อนันต์" (Infinities) โดยเกรเกอร์ คันทอร์ (Gregor Cantor) นำไปสู่ความขัดแย้งทางความคิดอย่างรุนแรง โดยนักคิดบางคนเช่น ลุดวิก วิตเกนสไตน์ มองว่าแนวทางของคันทอร์เป็นสิ่งที่อันตรายต่อคณิตศาสตร์

เมื่อเข้าสู่ศตวรรษที่ 20 นักคณิตศาสตร์เริ่มนำระเบียบวิธีแบบสัจพจน์มาใช้ตามแบบอย่างของ ดาวิด ฮิลเบิร์ต (David Hilbert) และการกำหนดโครงสร้างทางตรรกะโดย เบอร์ทรานด์ รัสเซลล์ (Bertrand Russell) ทำให้คณิตศาสตร์บริสุทธิ์ส่วนใหญ่ถูกทำให้เป็นระบบสัจพจน์ ซึ่งสามารถตรวจสอบความถูกต้องได้ด้วยตรรกศาสตร์