คณิตศาสตร์บริสุทธิ์ นิยาม ประวัติศาสตร์ และปรัชญา

ในบริบทของปรัชญาคณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์บริสุทธิ์ (Pure Mathematics) คือคำเรียกอย่างไม่เป็นทางการที่ใช้กับการศึกษาแนวคิดทางคณิตศาสตร์โดยอิสระจากการประยุกต์ใช้ภายนอก แม้ว่าแนวคิดเหล่านี้อาจมีจุดเริ่มต้นมาจากปัญหาในโลกความเป็นจริง และผลลัพธ์ที่ได้อาจกลายเป็นประโยชน์ต่อการใช้งานในทางปฏิบัติในภายหลัง แต่แรงจูงใจหลักในการวิจัยคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ไม่ใช่การนำไปใช้ประโยชน์ แต่เป็นความท้าทายทางปัญญาและความงามทางสุนทรียศาสตร์ในการนิยามวัตถุทางคณิตศาสตร์ใหม่ๆ หรือการหาข้อสรุปทางคณิตศาสตร์จากหลักการพื้นฐาน

ความสัมพันธ์ระหว่างคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และคณิตศาสตร์ประยุกต์

แม้ว่าการแบ่งแยกความแตกต่างระหว่างคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และคณิตศาสตร์ประยุกต์จะมีมาตั้งแต่สมัยกรีกโบราณ แต่แนวคิดนี้ได้รับการขยายความอย่างชัดเจนในช่วงประมาณปี ค.ศ. 1900 หลังจากมีการนำเสนอทฤษฎีที่มีคุณสมบัติขัดกับสัญชาตญาณ เช่น เรขาคณิตนอกแบบยุคลิด (Non-Euclidean geometries) และทฤษฎีเซตอนันต์ของคันทอร์ (Cantor's theory of infinite sets) รวมถึงการค้นพบพาราด็อกซ์ต่างๆ เช่น ฟังก์ชันต่อเนื่องที่ไม่มีอนุพันธ์ในทุกจุด และพาราด็อกซ์ของรัสเซลล์ (Russell's paradox)

เหตุการณ์เหล่านี้ทำให้เกิดความจำเป็นในการปรับปรุงความเข้มงวดทางคณิตศาสตร์ (Mathematical rigor) และการเขียนตำราคณิตศาสตร์ใหม่ทั้งหมดโดยใช้ระเบียบวิธีแบบสัจพจน์ (Axiomatic methods) อย่างเป็นระบบ

อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์เกือบทั้งหมดมักมีแรงจูงใจมาจากปัญหาในโลกจริงหรือทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนน้อยกว่า นอกจากนี้ หลายทฤษฎีที่เคยถูกมองว่าเป็นคณิตศาสตร์บริสุทธิ์กลับถูกนำไปใช้ในสาขาประยุกต์ โดยเฉพาะในฟิสิกส์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ ตัวอย่างที่โดดเด่น ได้แก่:

• กฎแรงโน้มถ่วงสากลของไอแซก นิวตัน: นิวตันพิสูจน์ว่ากฎของเขาบ่งชี้ว่าดาวเคราะห์เคลื่อนที่เป็นวงโคจรแบบภาคตัดกรวย (Conic sections) ซึ่งเป็นเส้นโค้งทางเรขาคณิตที่อพอลโลเนียส (Apollonius) ได้ศึกษาไว้ตั้งแต่สมัยโบราณ
• การแยกตัวประกอบของจำนวนเต็มขนาดใหญ่: ซึ่งเป็นพื้นฐานของระบบรหัสลับ RSA ที่ใช้ในการรักษาความปลอดภัยของการสื่อสารทางอินเทอร์เน็ตในปัจจุบัน

ดังนั้น ในปัจจุบัน การแบ่งแยกคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์จึงเป็นเรื่องของมุมมองทางปรัชญาหรือความชอบส่วนบุคคลมากกว่าจะเป็นการแบ่งสาขาที่แยกขาดจากกันอย่างสิ้นเชิง

ประวัติศาสตร์และการพัฒนา

ยุคกรีกโบราณ

นักคณิตศาสตร์กรีกโบราณเป็นกลุ่มแรกๆ ที่เริ่มแยกความแตกต่างระหว่างคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์ โดยเพลโต (Plato) มีส่วนสำคัญในการสร้างช่องว่างระหว่าง "เลขคณิต" (Arithmetic) ซึ่งปัจจุบันเรียกว่าทฤษฎีจำนวน และ "โลจิสติกส์" (Logistic) ซึ่งปัจจุบันเรียกว่าเลขคณิตพื้นฐาน

เพลโตมองว่าโลจิสติกส์เป็นเรื่องที่เหมาะสมสำหรับนักธุรกิจและทหารที่ต้องเรียนรู้ศิลปะแห่งตัวเลขเพื่อการจัดทัพ ส่วนเลขคณิต (ทฤษฎีจำนวน) เป็นเรื่องสำหรับนักปรัชญา เพื่อให้หลุดพ้นจากความเปลี่ยนแปลงและเข้าถึง "ความจริงแท้"

ตัวอย่างที่ชัดเจนของแนวคิดนี้คือ ยูคลิดแห่งอเล็กซานเดรีย (Euclid of Alexandria) เมื่อถูกลูกศิษย์ถามถึงประโยชน์ของการศึกษาเรขาคณิต เขาได้สั่งให้ทาสมอบเงินสามเพนนีแก่ลูกศิษย์คนนั้น โดยสื่อว่าลูกศิษย์ควรได้รับผลกำไรจากการเรียนรู้ในทันที นอกจากนี้ อพอลโลเนียสแห่งเพอร์กา (Apollonius of Perga) ยังยืนยันว่าทฤษฎีบทในหนังสือ Conics ของเขามีค่าในตัวเองผ่านการพิสูจน์ และควรค่าแก่การศึกษาเพื่อตัวมันเอง แม้ว่าในขณะนั้นจะยังไม่มีการนำไปใช้ในทางวิทยาศาสตร์หรือวิศวกรรมศาสตร์

มุมมองของอริสโตเติลและพีทาโกรัส

ในทางกลับกัน ปรัชญาของอริสโตเติล (Aristotle) และสำนักของเขา รวมถึงนักคิดอย่างเธลีส (Thales) และอาร์คิมิดีส (Archimedes) มีแนวทางเชิงทดลองและไม่ได้แยกคณิตศาสตร์ออกจากฟิสิกส์อย่างเด็ดขาด ความขัดแย้งระหว่างแนวคิดแบบเพลโต (Platonism) และอริสโตเติลยังคงปรากฏให้เห็นในคณิตศาสตร์สมัยใหม่

สำนักพีทาโกรัส (Pythagoras) ก็แสดงให้เห็นถึงความย้อนแย้งนี้ เช่น การพิสูจน์เรื่องจำนวนอตรรกยะ ซึ่งนำไปสู่พาราด็อกซ์ที่ว่าเซตของตัวเลขที่ไม่ซ้ำและไม่สิ้นสุดไม่สามารถอยู่ในโลกของเรขาคณิตแบบยุคลิดที่ "จำกัด" และ "นิยามชัดเจน" ได้ รวมถึงพาราด็อกซ์ของเซโน (Zeno's paradox) ที่แสดงความขัดแย้งระหว่างการใช้ตรรกะบริสุทธิ์ (การแบ่งระยะทางออกเป็นครึ่งหนึ่งทำได้เสมอ) กับความเป็นจริงในทางปฏิบัติ (การที่ผู้เดินทางไปถึงจุดหมาย)

การพัฒนาในศตวรรษที่ 19 และ 20

คำว่า "คณิตศาสตร์บริสุทธิ์" เริ่มปรากฏชัดเจนในตำแหน่งทางวิชาการ เช่น "Sadleirian Professor of Pure Mathematics" ในช่วงกลางศตวรรษที่ 19 ซึ่งสะท้อนถึงการเกิดสาขาวิชาที่แยกตัวออกมา ในยุคของ คาร์ล ฟรีดริช กาวส์ (Carl Friedrich Gauss) ยังไม่มีการแบ่งแยกที่ชัดเจนเช่นนี้ แต่ในเวลาต่อมา การสร้างความเชี่ยวชาญเฉพาะทาง โดยเฉพาะแนวทางของไวเออร์สตราส (Weierstrass) ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ได้ทำให้รอยแยกนี้ชัดเจนขึ้น

ในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 การอภิปรายเรื่อง "อนันต์" (Infinities) โดยเกรเกอร์ คันทอร์ (Gregor Cantor) และการเกิดขึ้นของแฟรกทัล (Fractals) และทฤษฎีโกลาหล (Chaos theory) สร้างความขัดแย้งอย่างมาก นักปรัชญาอย่าง ลุดวิก วิตเกนสไตน์ (Ludwig Wittgenstein) และ อองรี ปวงกาเร (Henri Poincaré) เคยวิจารณ์แนวทางของคันทอร์อย่างรุนแรง

เมื่อเข้าสู่ศตวรรษที่ 20 นักคณิตศาสตร์ได้นำระเบียบวิธีแบบสัจพจน์มาใช้ตามแบบอย่างของ ดาวิด ฮิลเบิร์ต (David Hilbert) และการกำหนดโครงสร้างทางตรรกะของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์โดย เบอร์ทรานด์ รัสเซลล์ (Bertrand Russell) ทำให้คณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ถูกทำให้เป็นสัจพจน์และสามารถตรวจสอบได้ด้วยตรรกะพื้นฐาน