Rothenberg Propriety ความเข้าใจเรื่องความถูกต้องของบันไดเสียง

ในทฤษฎีเซตแบบไดอะโทนิก (Diatonic Set Theory) Rothenberg propriety คือแนวคิดสำคัญที่ว่าด้วยเรื่องความไม่มีข้อขัดแย้งและความคลุมเครือในทฤษฎีทั่วไปของบันไดเสียง ซึ่งนำเสนอโดย David Rothenberg ในปี 1978 แนวคิดนี้ยังถูกค้นพบโดย Gerald Balzano ซึ่งเขาเรียกว่าความสอดคล้อง (Coherence)

ความหมายของ Propriety

Rothenberg แบ่งประเภทของบันไดเสียงตามระดับความถูกต้อง (Propriety) ดังนี้:

• Strictly Proper (ถูกต้องอย่างเข้มงวด): บันไดเสียงที่ทุกช่วงห่างของสองขั้นบันไดจะกว้างกว่าช่วงห่างของหนึ่งขั้นบันไดเสมอ และช่วงห่างของสามขั้นบันไดจะกว้างกว่าสองขั้นบันได เป็นต้น
• Proper (ถูกต้อง): บันไดเสียงที่อาจมีความคลุมเครือ (Ambiguity) แต่ไม่มีข้อขัดแย้ง (Contradiction)
• Improper (ไม่ถูกต้อง): บันไดเสียงที่มีข้อขัดแย้งเกิดขึ้น

ตัวอย่างเช่น บันไดเสียงไดอะโทนิก (Diatonic Scale) ไม่ได้ถูกต้องอย่างเข้มงวด เพราะช่วงห่างสามขั้นและสี่ขั้นมีขนาดเท่ากัน (คือช่วงเสียงไตรโทน - Tritone) ทำให้เกิดความคลุมเครือ แต่ยังถือว่าเป็นบันไดเสียงที่ ถูกต้อง (Proper)

ตัวอย่างบันไดเสียง

บันไดเสียงแบบ Pentatonic

บันไดเสียง Pentatonic ที่ถูกต้องอย่างเข้มงวดมีเพียงหนึ่งเดียวคือ Major Pentatonic {0, 2, 4, 7, 9}

ส่วนบันไดเสียง Pentatonic อื่นๆ ที่ถูกต้องแต่ไม่เข้มงวด ได้แก่:

• {0, 1, 4, 6, 8}
• {0, 2, 4, 6, 8} (Whole Tone Scale)
• {0, 1, 4, 6, 9} (Gamma Chord)
• {0, 2, 4, 6, 9} (Dominant Ninth Chord)
• {0, 1, 3, 6, 9} (Dominant Minor Ninth Chord)

บันไดเสียงแบบ Heptatonic

บันไดเสียง Heptatonic ที่ถูกต้องแต่ไม่เข้มงวด ได้แก่:

• Harmonic Minor Scale
• Diatonic Scale
• Altered Scale
• Major Neapolitan Scale

ข้อขัดแย้งในบันไดเสียง (Improper Scales)

ตัวอย่างของบันไดเสียงที่ไม่ถูกต้อง (Improper Scale) คือบันไดเสียง Hirajōshi ของญี่ปุ่น ซึ่งมีระยะห่างระหว่างโน้ตเป็น 2, 1, 4, 1, 4 เซมิโทน

ในบันไดเสียงนี้ ช่วงห่างหนึ่งขั้นบันไดอาจกว้างถึง 4 เซมิโทน (Major Third) ในขณะที่ช่วงห่างสองขั้นบันไดอาจแคบเพียง 3 เซมิโทน (Minor Third) ซึ่งทำให้เกิดข้อขัดแย้ง (Contradiction) เพราะลำดับของช่วงห่างเฉพาะ (Specific Intervals) ขัดแย้งกับลำดับของช่วงห่างทั่วไป (Generic Intervals)

คำจำกัดความทางคณิตศาสตร์

Rothenberg นิยามความถูกต้องในบริบทที่กว้างขวาง โดยพิจารณาบันไดเสียงเป็นฟังก์ชันกึ่งคาบ (Quasiperiodic Function) โดยที่ $\beta_i$ แทนองค์ประกอบของบันไดเสียง และ $\Omega$ แทนช่วง octave

บันไดเสียงจะ Strictly Proper หาก $i < j$ หมายถึง $class(i) < class(j)$ และจะ Proper หาก $i \le j$ หมายถึง $class(i) \le class(j)$

ผลกระทบต่อการรับรู้

Rothenberg ตั้งสมมติฐานว่าบันไดเสียงที่ถูกต้อง (Proper Scales) จะช่วยให้ผู้ฟังสามารถรับรู้โครงสร้างดนตรีได้ง่ายขึ้น (Stable Gestalt) ในขณะที่บันไดเสียงที่ไม่ถูกต้อง (Improper Scales) อาจต้องการเสียงโดรน (Drone) หรือเสียงซ้ำ (Ostinato) เพื่อช่วยให้ผู้ฟังมีจุดอ้างอิงในการรับรู้