เกณฑ์การครากของฟอน มิเซส

สรุปใจความสำคัญ

ใช้สำหรับทำนายการเริ่มเปลี่ยนรูปถาวร (Yielding) ในวัสดุเหนียว เช่น โลหะ
ตั้งอยู่บนสมมติฐานว่าการครากเกิดขึ้นเมื่อพลังงานการบิดเบือน (Distortion Energy) ถึงค่าวิกฤต
ไม่ขึ้นกับความดันไฮโดรสแตติก (Hydrostatic Pressure) ทำให้เหมาะกับวัสดุที่การเปลี่ยนปริมาตรไม่ส่งผลต่อการคราก
ความเค้นฟอน มิเซสเป็นค่าสเกลาร์ที่ใช้เปรียบเทียบกับความแข็งแรงที่จุดครากจากการทดสอบแรงดึงแกนเดียว

ในทางกลศาสตร์คอนทินิวอัม (Continuum Mechanics) เกณฑ์การครากของฟอน มิเซส (von Mises yield criterion) หรือที่รู้จักในชื่อ เกณฑ์พลังงานการบิดเบือนสูงสุด (Maximum Distortion Energy Criterion) ระบุว่าวัสดุเหนียว (Ductile Material) จะเริ่มเกิดการคราก (Yielding) หรือการเปลี่ยนรูปอย่างถาวร เมื่อค่าอินเวเรียนต์ตัวที่สองของความเค้นเบี่ยงเบน (Second Invariant of Deviatoric Stress, $J_2$) มีค่าถึงระดับวิกฤต

สูตรคำนวณ J2 — นิยามของอินเวเรียนต์ตัวที่สองของความเค้นเบี่ยงเบน ($J_2$)

หลักการพื้นฐานและความเค้นสมมูล

ในทางวัสดุศาสตร์และวิศวกรรม เกณฑ์ของฟอน มิเซส มักถูกนำเสนอในรูปของ ความเค้นฟอน มิเซส (von Mises stress) หรือ ความเค้นดึงสมมูล (Equivalent Tensile Stress, $\sigma_v$) ซึ่งเป็นค่าสเกลาร์ที่คำนวณได้จากเทนเซอร์ความเค้นของโคชี (Cauchy Stress Tensor)

วัสดุจะเริ่มเกิดการครากเมื่อความเค้นฟอน มิเซส มีค่าเท่ากับ ความแข็งแรงที่จุดคราก (Yield Strength, $\sigma_y$) ของวัสดุนั้นๆ ซึ่งได้จากการทดสอบแรงดึงแกนเดียว (Uniaxial Tensile Test)

สัญลักษณ์ความเค้นฟอน มิเซส — สัญลักษณ์แทนความเค้นฟอน มิเซส ($\sigma_v$)

สัญลักษณ์ความแข็งแรงที่จุดคราก — สัญลักษณ์แทนความแข็งแรงที่จุดคราก ($\sigma_y$)

คุณสมบัติและการประยุกต์ใช้

จุดเด่นของเกณฑ์ฟอน มิเซส คือการที่มันไม่ขึ้นกับอินเวเรียนต์ตัวแรกของความเค้น ($I_1$) ซึ่งหมายความว่า ความดันไฮโดรสแตติก (Hydrostatic Pressure) หรือความเค้นที่กระทำเท่ากันทุกทิศทาง จะไม่ส่งผลต่อการเกิดการครากในวัสดุเหนียว เช่น โลหะ

สัญลักษณ์อินเวเรียนต์ตัวแรก — อินเวเรียนต์ตัวแรกของความเค้น ($I_1$)

ประวัติการพัฒนา

แม้ว่าจะมีแนวคิดเบื้องต้นจาก James Clerk Maxwell ในปี 1865 แต่ Richard Edler von Mises เป็นผู้กำหนดสูตรทางคณิตศาสตร์อย่างเข้มงวดในปี 1913 นอกจากนี้ Tytus Maksymilian Huber (1904) และ Heinrich Hencky (1924) ก็ได้พัฒนาแนวคิดที่คล้ายคลึงกันโดยอ้างอิงจากพลังงานการบิดเบือน ด้วยเหตุนี้ ทฤษฎีนี้จึงบางครั้งถูกเรียกว่า "ทฤษฎี Maxwell–Huber–Hencky–von Mises"

การกำหนดทางคณิตศาสตร์

เกณฑ์การครากของฟอน มิเซส สามารถเขียนในรูปของ $J_2$ ได้ดังนี้:

สมการ J2 = k^2 — สมการเกณฑ์การครากในรูปของความเค้นเฉือน

โดยที่ $k$ คือความเค้นครากในสภาวะเฉือนบริสุทธิ์ (Pure Shear) ซึ่งมีความสัมพันธ์กับความแข็งแรงที่จุดคราก ($\sigma_y$) ดังนี้:

สมการ k = sigma_y / sqrt(3) — ความสัมพันธ์ระหว่างความเค้นครากเฉือนและแรงดึง

เมื่อแทนค่าความเค้นฟอน มิเซส ให้เท่ากับความแข็งแรงที่จุดคราก จะได้ความสัมพันธ์:

สมการ sigma_v = sigma_y — เงื่อนไขการครากเมื่อความเค้นสมมูลเท่ากับความแข็งแรงที่จุดคราก

หากคำนวณจากองค์ประกอบของเทนเซอร์ความเค้นของโคชี ความเค้นฟอน มิเซส ยกกำลังสอง ($\sigma_v^2$) จะมีค่าเท่ากับ:

สมการคำนวณความเค้นฟอน มิเซสจากเทนเซอร์ — การคำนวณความเค้นฟอน มิเซสจากองค์ประกอบความเค้นใน 3 มิติ

คำถามที่พบบ่อย

เกณฑ์ของฟอน มิเซส ต่างจากเกณฑ์ของเทรस्กา (Tresca) อย่างไร?

เกณฑ์ของฟอน มิเซสพิจารณาจากพลังงานการบิดเบือนรวม (Distortion Energy) ในขณะที่เกณฑ์ของเทรस्กาพิจารณาจากความเค้นเฉือนสูงสุด (Maximum Shear Stress) โดยทั่วไปเกณฑ์ของฟอน มิเซสจะให้ผลการทำนายที่แม่นยำกว่าสำหรับวัสดุเหนียวส่วนใหญ่

ทำไมความดันไฮโดรสแตติกถึงไม่มีผลต่อการครากตามเกณฑ์นี้?

เพราะเกณฑ์นี้พิจารณาเฉพาะส่วนของความเค้นที่ทำให้เกิดการเปลี่ยนรูปร่าง (Deviatoric Stress) และละทิ้งส่วนที่ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงปริมาตร (Hydrostatic Stress) ซึ่งในวัสดุโลหะ การบีบอัดทุกทิศทางอย่างเท่ากันไม่ทำให้เกิดการไหลพลาสติก

ความเค้นฟอน มิเซส นำไปใช้ในงานวิศวกรรมอย่างไร?

ใช้ในการออกแบบชิ้นส่วนเครื่องกลเพื่อตรวจสอบว่าภายใต้ภาระงานที่ซับซ้อน (Complex Loading) ชิ้นส่วนนั้นจะเกิดการครากหรือไม่ โดยการคำนวณค่าความเค้นสมมูลแล้วนำไปเปรียบเทียบกับค่า Yield Strength ของวัสดุ