W-algebra พื้นฐานและโครงสร้างในทฤษฎีสนามคอนฟอร์มัล

ในทางทฤษฎีสนามคอนฟอร์มัล (Conformal Field Theory - CFT) และทฤษฎีการแทนค่า (Representation Theory), W-algebra คือพีชคณิตแบบเชื่อมโยง (Associative Algebra) ที่ทำหน้าที่ขยายความสามารถของ Virasoro algebra โดย W-algebra ถูกนำเสนอครั้งแรกโดย Alexander Zamolodchikov ซึ่งชื่อของมันมีที่มาจากตัวอักษร 'W' ที่เขาใช้เรียกองค์ประกอบหนึ่งในตัวอย่างที่เขานำเสนอ

นิยามของ W-algebra

W-algebra คือพีชคณิตที่สร้างขึ้นจากโหมด (modes) ของสนามเมอริฟอร์มิก (meromorphic fields) จำนวนจำกัดที่ระบุด้วย $W^{(h)}(z)$ ซึ่งรวมถึงเทนเซอร์พลังงาน-โมเมนตัม (energy-momentum tensor) $T(z) = W^{(2)}(z)$ ด้วย

สำหรับค่า $h \neq 2$, สนาม $W^{(h)}(z)$ จะเป็นสนามปฐมภูมิ (primary field) ที่มีมิติคอนฟอร์มัล (conformal dimension) $h \in \frac{1}{2}\mathbb{N}^$ โดยที่ตัวสร้าง (generators) ของพีชคณิต $(W_n^{(h)})_{n \in \mathbb{Z}}$ มีความสัมพันธ์กับสนามเมอริฟอร์มิกผ่านการขยายโหมด (mode expansions) ดังนี้:

ความสัมพันธ์ของการสลับที่ (Commutation Relations)

ความสัมพันธ์ของการสลับที่ของ $L_n = W_n^{(2)}$ จะถูกกำหนดโดย Virasoro algebra ซึ่งมีพารามิเตอร์เป็นค่าประจุกลาง (central charge) $c \in \mathbb{C}$ ซึ่งค่านี้จะถูกเรียกว่าเป็นประจุกลางของ W-algebra ด้วยเช่นกัน

ความสัมพันธ์ของการสลับที่ดังต่อไปนี้:

ซึ่งเทียบเท่ากับการสมมติว่า $W^{(h)}(z)$ เป็นสนามปฐมภูมิที่มีมิติ $h$

ส่วนความสัมพันธ์ของการสลับที่อื่นๆ สามารถหาได้จากการแก้สมการเอกลักษณ์ของ Jacobi (Jacobi identities)

การสร้าง W-algebra (Constructions)

แม้ว่าจะเป็นไปได้ที่จะสร้าง W-algebra โดยการสมมติการมีอยู่ของสนามเมอริฟอร์มิกและแก้สมการเอกลักษณ์ของ Jacobi แต่ก็มีวิธีการสร้างอย่างเป็นระบบดังนี้:

1. การลดรูปของ Drinfeld-Sokolov (Drinfeld-Sokolov Reduction)

จากการใช้พีชคณิตลี (Lie algebra) ขนาดจำกัด $\mathfrak{g}$ พร้อมกับการฝังตัว (embedding) $\mathfrak{sl}_2 \hookrightarrow \mathfrak{g}$, W-algebra สามารถสร้างขึ้นจากพีชคณิตลีแบบแอฟฟีน (affine Lie algebra) $\hat{\mathfrak{g}}$ โดยใช้โครงสร้างแบบ BRST

ในกรณีนี้ ค่าประจุกลางของ W-algebra จะเป็นฟังก์ชันของระดับ (level) ของพีชคณิตลีแบบแอฟฟีน

2. การสร้างแบบ Coset (Coset Construction)

เมื่อกำหนดพีชคณิตลีขนาดจำกัด $\mathfrak{g}$ และพีชคณิตย่อย $\mathfrak{h} \hookrightarrow \mathfrak{g}$, W-algebra $W(\hat{\mathfrak{g}}/\hat{\mathfrak{h}})$ สามารถสร้างขึ้นจากพีชคณิตลีแบบแอฟฟีนที่สอดคล้องกัน $\hat{\mathfrak{h}} \hookrightarrow \hat{\mathfrak{g}}$ โดยสนามที่สร้าง $W(\hat{\mathfrak{g}}/\hat{\mathfrak{h}})$ คือพหุนามของกระแส (currents) ของ $\hat{\mathfrak{g}}$ และอนุพันธ์ของมันที่สลับที่กับกระแสของ $\hat{\mathfrak{h}}$

สรุปคุณสมบัติ

W-algebra มักจะถูกศึกษาในรูปแบบของ freely generated W-algebras ซึ่งหมายความว่าตัวสร้างของมันไม่มีความสัมพันธ์อื่นนอกเหนือจากความสัมพันธ์ของการสลับที่ ซึ่งรวมถึง W(N) algebras ที่เป็นที่รู้จักกันดี