ทฤษฎีบทของเวนเดล

ในสาขาความน่าจะเป็นเชิงเรขาคณิต (Geometric Probability) ทฤษฎีบทของเวนเดล (Wendel's Theorem) ซึ่งตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ เจมส์ จี เวนเดล (James G. Wendel) เป็นผลลัพธ์สำคัญที่อธิบายถึงความน่าจะเป็นที่จุดจำนวน N จุด ซึ่งถูกสุ่มวางอย่างสม่ำเสมอบนไฮเปอร์สเฟียร์ (hypersphere) ในมิติที่ n จะไปรวมตัวกันอยู่ใน "ซีก" เดียวกันของไฮเปอร์สเฟียร์นั้น

นิยามและสูตรคำนวณ

ทฤษฎีบทนี้ระบุว่า หากเรามีจุด N จุดบน n-dimensional hypersphere ความน่าจะเป็นที่จุดทั้งหมดจะอยู่ในครึ่งหนึ่งของพื้นที่ (half-space) ที่มีจุดกำเนิดอยู่บนขอบเขต สามารถคำนวณได้จากสูตรดังนี้:

ค่าความน่าจะเป็นนี้ยังสามารถตีความได้ว่าเป็นโอกาสที่จุดกำเนิด (origin) จะไม่อยู่ภายในส่วนนูน (convex hull) ของจุด N จุดที่สุ่มมาได้ โดยทฤษฎีบทนี้ใช้ได้กับทุกการแจกแจงความน่าจะเป็นบนปริภูมิ Rⁿ ที่มีความสมมาตรเทียบกับจุดกำเนิด รวมถึงการแจกแจงที่คงตัวต่อการหมุน (rotationally invariant) รอบจุดกำเนิดด้วย

ความสัมพันธ์กับทฤษฎีของชเลฟลี

ทฤษฎีบทของเวนเดลถือเป็นการตีความใหม่ในเชิงความน่าจะเป็นของ ทฤษฎีบทของชเลฟลี (Schläfli's theorem) ซึ่งกล่าวถึงการแบ่งปริภูมิ Rⁿ ออกเป็นส่วนต่างๆ ด้วยไฮเปอร์เพลน (hyperplanes) จำนวน N ระนาบที่อยู่ในตำแหน่งทั่วไป (general position)

จำนวนของพื้นที่ที่ถูกแบ่งออกโดยไฮเปอร์เพลนเหล่านี้สัมพันธ์โดยตรงกับผลรวมของสัมประสิทธิ์ทวินาม ซึ่งเป็นรากฐานสำคัญในการทำความเข้าใจโครงสร้างของปริภูมิในมิติสูง