รากที่ n คืออะไร? ทำความเข้าใจพื้นฐานและวิธีการคำนวณ

ในทางคณิตศาสตร์ รากที่ n ของจำนวน x คือจำนวน r ซึ่งเมื่อนำมาคูณกับตัวเองเป็นจำนวน n ครั้ง จะได้ผลลัพธ์เท่ากับ x ตามสมการดังนี้:

คำศัพท์สำคัญที่ควรรู้

เพื่อให้เข้าใจเรื่องรากที่ n ได้ดียิ่งขึ้น เราควรทราบคำศัพท์ทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องดังนี้:

• ดัชนี (Index) หรือ ดีกรี (Degree): คือจำนวนเต็มบวก n ที่ระบุว่าเป็นรากที่เท่าไหร่
• ตัวถูกถอดราก (Radicand): คือจำนวน x ที่อยู่ภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์
• การถอดราก (Root Extraction): คือกระบวนการคำนวณเพื่อหาค่าของรากที่ n

ประเภทของรากที่พบบ่อย

รากที่มีดีกรีแตกต่างกันจะมีชื่อเรียกเฉพาะ เช่น:

• รากที่มีดีกรี 2 เรียกว่า รากที่สอง (Square root)
• รากที่มีดีกรี 3 เรียกว่า รากที่สาม (Cube root)
• รากที่มีดีกรีสูงกว่านี้จะเรียกตามลำดับที่ เช่น รากที่สี่, รากที่ยี่สิบ เป็นต้น

สัญลักษณ์และการเขียน

รากที่ n ของ x เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์

โดยใช้เครื่องหมายกรณฑ์ (Radical symbol)

สำหรับรากที่สอง มักจะละดัชนีไว้ในฐานที่เข้าใจ โดยเขียนเป็น

ซึ่งมีค่าเท่ากับรากที่มีดัชนี

เท่ากับ 2

ความสัมพันธ์กับเลขยกกำลัง

การหาค่ารากที่ n เป็นการดำเนินการผกผันกับการยกกำลัง n ซึ่งสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของเลขยกกำลังที่เป็นเศษส่วนได้ดังนี้:

รากของจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อน

สำหรับจำนวนจริงบวก x ค่าของ

และ

จะหมายถึงค่าที่เป็นบวกเสมอ ตัวอย่างเช่น 3 เป็นรากที่สองของ 9 เพราะ 3² = 9 และ -3 ก็เป็นรากที่สองของ 9 เช่นกันเพราะ (-3)² = 9

อย่างไรก็ตาม จำนวนจริงลบจะไม่มีรากที่สองที่เป็นจำนวนจริง แต่จะมีรากที่สองในรูปของจำนวนเชิงซ้อน คือ

และ

โดยที่ i คือหน่วยจินตภาพ

นิยามเพิ่มเติมและคำศัพท์ทางพีชคณิต

ในกรณีทั่วไป จำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่ศูนย์จะมีรากที่ n ที่แตกต่างกัน n ค่า ซึ่งกระจายตัวอย่างสม่ำเสมอรอบวงกลมในระนาบเชิงซ้อน โดยค่าที่มีส่วนจริงมากที่สุดจะถูกเรียกว่า รากหลัก (Principal Root) ซึ่งเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์

นอกจากนี้ รากที่ยังไม่ได้คำนวณค่า (Unresolved root) มักถูกเรียกว่า เซอร์ด (Surd) หรือ กรณฑ์ (Radical) และนิพจน์ใดๆ ที่มีเครื่องหมายกรณฑ์จะเรียกว่า นิพจน์กรณฑ์ (Radical expression)

ตารางสรุปคำศัพท์พื้นฐานของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์

เพื่อให้เห็นภาพรวมของการดำเนินการต่างๆ ในพีชคณิต สามารถดูได้จากแผนผังดังนี้: