สถิติเชิงคณิตศาสตร์ หลักการและหัวข้อสำคัญ

สถิติเชิงคณิตศาสตร์คือการประยุกต์ใช้ทฤษฎีความน่าจะเป็นและแนวคิดทางคณิตศาสตร์อื่นๆ เพื่อใช้ในงานด้านสถิติ ซึ่งแตกต่างจากเทคนิคการเก็บรวบรวมข้อมูลทางสถิติ โดยทั่วไปแล้ว เทคนิคทางคณิตศาสตร์ที่นำมาใช้ในสถิติเชิงคณิตศาสตร์ ได้แก่ การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ (Mathematical Analysis), พีชคณิตเชิงเส้น (Linear Algebra), การวิเคราะห์แบบสุ่ม (Stochastic Analysis), สมการเชิงอนุพันธ์ (Differential Equations) และทฤษฎีการวัด (Measure Theory)

บทนำ

การเก็บรวบรวมข้อมูลทางสถิติเกี่ยวข้องกับการวางแผนการศึกษา โดยเฉพาะอย่างยิ่งการออกแบบการทดลองแบบสุ่มและการวางแผนการสำรวจโดยใช้การสุ่มตัวอย่าง การวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้นมักเป็นไปตามโปรโตคอลการศึกษาที่กำหนดไว้ก่อนหน้า อย่างไรก็ตาม ข้อมูลจากการศึกษาหนึ่งอาจถูกนำมาวิเคราะห์เพื่อพิจารณาสมมติฐานรองที่ได้รับแรงบันดาลใจจากผลลัพธ์เบื้องต้น หรือเพื่อเสนอการศึกษาใหม่ๆ ซึ่งกระบวนการวิเคราะห์ข้อมูลในลักษณะนี้คือสิ่งที่เรียกว่า สถิติเชิงคณิตศาสตร์

การวิเคราะห์ข้อมูลแบ่งออกเป็นสองส่วนหลัก ได้แก่:

• สถิติพรรณนา (Descriptive Statistics): ส่วนของสถิติที่ใช้อธิบายลักษณะของข้อมูล เช่น การสรุปข้อมูลและคุณสมบัติทั่วไปของข้อมูลนั้นๆ
• สถิติอนุมาน (Inferential Statistics): ส่วนของสถิติที่ใช้สรุปผลจากข้อมูลโดยใช้แบบจำลอง (Model) เช่น การเลือกแบบจำลองสำหรับข้อมูล, การตรวจสอบว่าข้อมูลเป็นไปตามเงื่อนไขของแบบจำลอง และการระบุปริมาณความไม่แน่นอน (เช่น การใช้ช่วงความเชื่อมั่น)

แม้ว่าเครื่องมือในการวิเคราะห์ข้อมูลจะทำงานได้ดีที่สุดกับข้อมูลจากการศึกษาแบบสุ่ม แต่เครื่องมือเหล่านี้ยังถูกนำไปใช้กับข้อมูลประเภทอื่น เช่น การทดลองทางธรรมชาติและการศึกษาเชิงสังเกต ซึ่งในกรณีนี้ การอนุมานจะขึ้นอยู่กับแบบจำลองที่นักสถิติเลือก และอาจมีความเป็นอัตวิสัย (Subjective) ได้

หัวข้อสำคัญในสถิติเชิงคณิตศาสตร์

การแจกแจงความน่าจะเป็น (Probability Distributions)

การแจกแจงความน่าจะเป็นคือฟังก์ชันที่กำหนดค่าความน่าจะเป็นให้กับแต่ละเซตย่อยที่วัดได้ของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้จากการทดลองแบบสุ่ม การสำรวจ หรือกระบวนการอนุมานทางสถิติ ตัวอย่างเช่น:

• การทดลองที่มีปริภูมิตัวอย่างเป็นแบบไม่เป็นตัวเลข (Non-numerical) จะใช้ การแจกแจงแบบหมวดหมู่ (Categorical Distribution)
• การทดลองที่มีปริภูมิตัวอย่างเป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง (Discrete Random Variables) จะใช้ ฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็น (Probability Mass Function)
• การทดลองที่มีปริภูมิตัวอย่างเป็นตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง (Continuous Random Variables) จะใช้ ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (Probability Density Function)

การแจกแจงแบบพิเศษ (Special Distributions)

การแจกแจง	คำอธิบาย
การแจกแจงปกติ (Normal Distribution)	การแจกแจงแบบต่อเนื่องที่พบบ่อยที่สุด
การแจกแจงแบบเบอร์นูลลี (Bernoulli Distribution)	สำหรับผลลัพธ์ของการทดลองเบอร์นูลลีเพียงครั้งเดียว (เช่น สำเร็จ/ล้มเหลว)
การแจกแจงทวินาม (Binomial Distribution)	สำหรับจำนวนครั้งที่สำเร็จในการทดลองที่เป็นอิสระต่อกันจำนวน n ครั้ง
การแจกแจงแบบเรขาคณิต (Geometric Distribution)	สำหรับจำนวนครั้งที่ล้มเหลวก่อนที่จะเกิดความสำเร็จครั้งแรก
การแจกแจงปัวซง (Poisson Distribution)	สำหรับจำนวนครั้งที่เกิดเหตุการณ์ในระยะเวลาที่กำหนด
การแจกแจงแบบเอกซ์โพเนนเชียล (Exponential Distribution)		สำหรับระยะเวลาก่อนที่จะเกิดเหตุการณ์ปัวซงครั้งถัดไป
การแจกแจงแบบที (Student's t Distribution)	ใช้สำหรับการอนุมานค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างที่มีความแปรปรวนไม่ทราบค่า

การอนุมานทางสถิติ (Statistical Inference)

การอนุมานทางสถิติคือกระบวนการสรุปผลจากข้อมูลที่มีความผันผวนแบบสุ่ม เช่น ความคลาดเคลื่อนจากการสังเกตหรือความคลาดเคลื่อนจากการสุ่มตัวอย่าง สถิติอนุมานถูกนำมาใช้เพื่อทดสอบสมมติฐานและทำการประมาณค่าโดยใช้ข้อมูลจากกลุ่มตัวอย่าง เพื่อทำนายผลลัพธ์ของประชากรขนาดใหญ่ที่กลุ่มตัวอย่างนั้นเป็นตัวแทน