ความพหุคูณ (Multiplicity) ในทางคณิตศาสตร์คืออะไร?

ในทางคณิตศาสตร์ ความพหุคูณ (Multiplicity) ของสมาชิกในเซตพหุคูณ (Multiset) คือจำนวนครั้งที่สมาชิกนั้นปรากฏอยู่ในเซตดังกล่าว ตัวอย่างที่เห็นได้ชัดที่สุดคือ จำนวนครั้งที่พหุนามหนึ่งๆ มีรากที่จุดใดจุดหนึ่ง ซึ่งเราจะเรียกว่าความพหุคูณของรากนั้น

แนวคิดเรื่องความพหุคูณมีความสำคัญอย่างยิ่งในการนับจำนวนสมาชิกให้ถูกต้องโดยไม่ต้องระบุข้อยกเว้น (เช่น การนับรากซ้ำสองครั้ง) จึงเกิดเป็นวลีที่ว่า "นับรวมความพหุคูณ" (counted with multiplicity) หากเราละทิ้งความพหุคูณ เราจะเน้นไปที่การนับจำนวนสมาชิกที่แตกต่างกันแทน เช่น "จำนวนรากที่แตกต่างกัน" อย่างไรก็ตาม เมื่อมีการสร้างเซต (Set) แทนที่จะเป็นเซตพหุคูณ (Multiset) ความพหุคูณจะถูกละทิ้งโดยอัตโนมัติ

ความพหุคูณของตัวประกอบเฉพาะ

ในการแยกตัวประกอบเฉพาะ ความพหุคูณของตัวประกอบเฉพาะคือค่า p-adic valuation ของมัน ตัวอย่างเช่น การแยกตัวประกอบเฉพาะของจำนวนเต็ม 60 คือ:

ในกรณีนี้ ความพหุคูณของตัวประกอบเฉพาะ 2 คือ 2 ในขณะที่ความพหุคูณของตัวประกอบเฉพาะ 3 และ 5 คือ 1 ดังนั้น 60 จึงมีตัวประกอบเฉพาะ 4 ตัวหากนับรวมความพหุคูณ แต่มีตัวประกอบเฉพาะที่แตกต่างกันเพียง 3 ตัวเท่านั้น

ความพหุคูณของรากของพหุนาม

ให้ F เป็นฟีลด์ (Field) และ p(x) เป็นพหุนามตัวแปรเดียวที่มีสัมประสิทธิ์อยู่ใน F สมาชิก a ∈ F จะเป็นรากที่มีความพหุคูณ k ของ p(x) ถ้ามีพหุนาม s(x) ที่ทำให้ s(a) ≠ 0 และ p(x) = (x - a)^k s(x)

หาก k = 1 เราจะเรียก a ว่า รากเดี่ยว (Simple Root) แต่ถ้า k ≥ 2 เราจะเรียก a ว่า รากพหุ (Multiple Root)

ตัวอย่างเช่น พหุนาม p(x) = x³ + 2x² - 7x + 4 มีรากคือ 1 และ -4 ซึ่งสามารถเขียนในรูปการแยกตัวประกอบได้เป็น p(x) = (x + 4)(x - 1)²

จากตัวอย่างนี้ 1 เป็นรากที่มีความพหุคูณ 2 และ -4 เป็นรากเดี่ยว (ความพหุคูณ 1) ตามทฤษฎีบทหลักของพีชคณิต ความพหุคูณของรากคือจำนวนครั้งที่รากนั้นปรากฏในการแยกตัวประกอบที่สมบูรณ์ของพหุนาม

ความสัมพันธ์กับอนุพันธ์

หาก a เป็นรากที่มีความพหุคูณ k ของพหุนามหนึ่งๆ แล้ว a จะเป็นรากที่มีความพหุคูณ k - 1 ของอนุพันธ์ของพหุนามนั้น (ยกเว้นในกรณีที่ลักษณะเฉพาะของฟีลด์เป็นตัวหารของ k)

พฤติกรรมของกราฟพหุนามใกล้รากพหุ

กราฟของฟังก์ชันพหุนาม f จะตัดแกน x ที่รากจริงของพหุนาม โดยมีลักษณะดังนี้:

• รากเดี่ยว: กราฟจะไม่สัมผัสแกน x แต่จะตัดผ่านแกน x โดยตรง
• รากพหุ: กราฟจะสัมผัส (Tangent) กับแกน x
• ความพหุคูณคี่: กราฟจะตัดผ่านแกน x (Traverse)
• ความพหุคูณคู่: กราฟจะไม่ตัดผ่านแกน x แต่จะสัมผัสแล้วสะท้อนกลับ

ฟังก์ชันพหุนามที่ไม่เป็นศูนย์จะมีค่าไม่เป็นลบเสมอ ก็ต่อเมื่อรากทั้งหมดมีความพหุคูณเป็นเลขคู่ และมี x₀ ที่ทำให้ f(x₀) > 0