Wronskian คืออะไร? ทำความเข้าใจตัวกำหนดค่าสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์

ในทางคณิตศาสตร์ Wronskian คือตัวกำหนดค่า (Determinant) ของเมทริกซ์ที่สร้างขึ้นจากชุดของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้และอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านั้นจนถึงอันดับที่ n-1 โดยแนวคิดนี้ถูกนำเสนอในปี ค.ศ. 1812 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวโปแลนด์ชื่อ Józef Wroński ซึ่งมีประโยชน์อย่างยิ่งในการศึกษาเรื่องสมการเชิงอนุพันธ์ เพื่อตรวจสอบว่าชุดของคำตอบนั้นมีความเป็นอิสระเชิงเส้น (Linear Independence) หรือไม่

นิยามของ Wronskian

สำหรับฟังก์ชันสองฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ $f$ และ $g$ ค่า Wronskian จะคำนวณได้จาก:

W(f, g) = fg' - gf'

กรณีทั่วไปสำหรับ n ฟังก์ชัน

หากเรามีฟังก์ชัน $f_1, …, f_n$ ซึ่งเป็นฟังก์ชันค่าจริงหรือค่าเชิงซ้อนที่หาอนุพันธ์ได้ $n-1$ ครั้งบนช่วง $I$ ค่า Wronskian $W(f_1, …, f_n)$ จะถูกกำหนดดังนี้:

โดยที่ $x ∈ I$ ซึ่งหมายถึงค่า Wronskian คือตัวกำหนดค่าของเมทริกซ์จัตุรัสที่แถวแรกคือฟังก์ชัน, แถวที่สองคืออนุพันธ์อันดับหนึ่ง, และไล่ลงไปจนถึงอนุพันธ์อันดับที่ $n-1$

Wronskian กับความเป็นอิสระเชิงเส้น

หากฟังก์ชันในชุดนั้นมีความ ไม่เป็นอิสระเชิงเส้น (Linearly Dependent) จะส่งผลให้คอลัมน์ของ Wronskian ไม่เป็นอิสระเชิงเส้นด้วย (เนื่องจากการหาอนุพันธ์เป็นปฏิบัติการเชิงเส้น) ซึ่งจะทำให้ค่า Wronskian เป็นศูนย์ ($W = 0$) ตลอดช่วงที่พิจารณา

ดังนั้น เราสามารถพิสูจน์ว่าชุดของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้มีความเป็นอิสระเชิงเส้นบนช่วงหนึ่งได้ โดยการแสดงว่าค่า Wronskian ไม่เป็นศูนย์ ในบางจุดของช่วงนั้น อย่างไรก็ตาม มีข้อควรระวังคือ การที่ $W = 0$ ทุกจุดไม่ได้หมายความว่าฟังก์ชันเหล่านั้นจะต้องไม่เป็นอิสระเชิงเส้นเสมอไป (ตามที่ Peano ได้ชี้ให้เห็นในปี 1889)

การประยุกต์ใช้ในสมการเชิงอนุพันธ์

เมื่อฟังก์ชันเหล่านั้นเป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น ค่า Wronskian สามารถหาได้โดยใช้ เอกลักษณ์ของอาเบล (Abel's identity) ซึ่งช่วยให้เราหาค่า Wronskian ได้แม้ว่าเราจะยังไม่ทราบคำตอบของสมการอย่างชัดเจน