Polyakov Action พื้นฐานสำคัญของทฤษฎีสตริงและ CFT

ในทางฟิสิกส์ Polyakov Action คือแอคชัน (Action) ของทฤษฎีสนามคอนฟอร์มัลสองมิติ (Two-dimensional Conformal Field Theory หรือ CFT) ที่ใช้อธิบาย worldsheet หรือพื้นผิวที่สตริงกวาดผ่านในขณะที่เคลื่อนที่ในปริภูมิ-เวลา (Space-time) ซึ่งเป็นรากฐานสำคัญในการพัฒนาทฤษฎีสตริง (String Theory)

ประวัติและการกำเนิด

Polyakov Action ถูกนำเสนอครั้งแรกโดย Stanley Deser และ Bruno Zumino รวมถึง L. Brink, P. Di Vecchia และ P. S. Howe ในปี 1976 อย่างไรก็ตาม แอคชันนี้กลายเป็นที่รู้จักในชื่อของ Alexander Polyakov หลังจากที่เขาได้นำมันมาใช้ในการทำควอนไทเซชัน (Quantization) ของสตริงในปี 1981 ซึ่งช่วยแก้ปัญหาความซับซ้อนในการคำนวณที่พบใน Nambu-Goto action

นิยามทางคณิตศาสตร์

รูปแบบของ Polyakov Action สามารถเขียนได้ดังนี้:

โดยที่ตัวแปรต่างๆ มีความหมายดังนี้:

• T: แรงตึงของสตริง (String Tension)

  

• g_μν: เมตริกของเป้าหมาย (Target Manifold Metric)

  

• h_ab: เมตริกของ worldsheet

  

• h^ab: อินเวอร์สของเมตริก worldsheet

  

• h: ดีเทอร์มิแนนต์ของ h_ab

  

พิกัดของ worldsheet แบ่งออกเป็นพิกัดในแนวพื้นที่ (Spacelike) คือ σ

และพิกัดในแนวเวลา (Timelike) คือ τ

สมมาตรแบบโกลบอล (Global Symmetries)

ในบริบทของทฤษฎีสองมิตินี้ สมมาตรจะถูกพิจารณาจากมุมมองของ worldsheet โดยที่การแปลงแบบ Lorentz ในปริภูมิ-เวลาจะถูกมองว่าเป็นสมมาตรแบบโกลบอล

แอคชันนี้มีความคงตัว (Invariant) ภายใต้การเลื่อนตำแหน่งในปริภูมิ-เวลา (Spacetime Translations) และการแปลง Lorentz แบบอินฟินิเทสิมัล ดังนี้:

• การเลื่อนตำแหน่ง: X^α → X^α + b^α

  

• การแปลง Lorentz: X^α → X^α + ω^α_β X^β

  

โดยที่ ω_μν = -ω_νμ

และ b^α เป็นค่าคงที่

ความคงตัวภายใต้การเลื่อนตำแหน่งเกิดขึ้นเนื่องจากแอคชัน S

ขึ้นอยู่กับอนุพันธ์อันดับหนึ่งของ X^α

เท่านั้น

ความสำคัญในทฤษฎีสตริง

Polyakov Action เป็นรูปแบบที่จัดการได้ง่ายกว่า Nambu-Goto Action เนื่องจากมีการนำเมตริกอิสระ h_ab เข้ามาใช้ ทำให้การทำควอนไทเซชันมีความสะดวกมากขึ้น และเมื่อรวมกับ Liouville Action จะสามารถอธิบายการผันผวนของสตริง (String Fluctuations) ได้อย่างสมบูรณ์