สัดส่วนในทางคณิตศาสตร์ ความหมายและประเภทของความสัมพันธ์

ในทางคณิตศาสตร์ สัดส่วนคือความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนสองชุดหรือตัวแปรสองตัวที่มีอัตราส่วนคงที่ หรือมีผลคูณคงที่ ซึ่งเป็นพื้นฐานสำคัญในการวิเคราะห์ข้อมูลเชิงทดลองและคำนวณทางวิทยาศาสตร์

ความหมายของสัดส่วน

ลำดับของจำนวนสองชุดจะถือว่า แปรผันตรง (Directly Proportional) หากสมาชิกที่สอดคล้องกันมีอัตราส่วนคงที่ ซึ่งอัตราส่วนนี้เรียกว่า ค่าคงที่ของสัดส่วน (Coefficient of Proportionality) หรือ ค่าคงที่ของการแปรผัน (Proportionality Constant) ในขณะที่ลำดับสองชุดจะ แปรผกผัน (Inversely Proportional) หากสมาชิกที่สอดคล้องกันมีผลคูณคงที่

สำหรับฟังก์ชันสองฟังก์ชัน $f(x)$ และ $g(x)$ จะถือว่ามีสัดส่วนต่อกันหากอัตราส่วน $\frac{f(x)}{g(x)}$ เป็นฟังก์ชันคงที่

การแปรผันตรง (Direct Proportionality)

กำหนดให้ $x$ เป็นตัวแปรอิสระ และ $y$ เป็นตัวแปรตาม $y$ จะแปรผันตรงกับ $x$ หากมีค่าคงที่บวก $k$ ที่ทำให้เกิดสมการ:

$y = kx$

ความสัมพันธ์นี้มักใช้สัญลักษณ์ $\propto$ หรือ $\sim$ เพื่อแสดงการแปรผัน เช่น $y \propto x$ หรือ $y \sim x$

สำหรับค่า $x \neq 0$ ค่าคงที่ของสัดส่วนสามารถคำนวณได้จากอัตราส่วน:

$k = \frac{y}{x}$

ในเชิงเรขาคณิต การแปรผันตรงสามารถมองได้ว่าเป็นสมการเส้นตรงที่มีจุดตัดแกน y เป็น 0 และมีความชันเท่ากับ $k$ ซึ่งแสดงถึงการเติบโตแบบเส้นตรง

ตัวอย่างการแปรผันตรงในชีวิตจริง

• ความเร็วคงที่: ระยะทางที่เดินทางได้จะแปรผันตรงกับเวลาที่ใช้ในการเดินทาง โดยมีความเร็วเป็นค่าคงที่ของสัดส่วน
• วงกลม: เส้นรอบวงของวงกลมแปรผันตรงกับเส้นผ่านศูนย์กลาง โดยมีค่าคงที่คือ $\pi$ (พาย)
• แผนที่: ระยะทางบนแผนที่แปรผันตรงกับระยะทางจริงบนพื้นดิน โดยมีมาตราส่วนแผนที่เป้นค่าคงที่
• แรงโน้มถ่วง: แรงที่กระทำต่อวัตถุขนาดเล็กแปรผันตรงกับมวลของวัตถุนั้น โดยมีค่าความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงเป็นค่าคงที่
• กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุแปรผันตรงกับความเร่งของวัตถุนั้น โดยมีมวลเป็นค่าคงที่ของสัดส่วน

การแปรผกผัน (Inverse Proportionality)

ตัวแปรสองตัวจะ แปรผกผัน กัน หากตัวแปรหนึ่งแปรผันตรงกับส่วนกลับ (reciprocal) ของอีกตัวแปรหนึ่ง หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ผลคูณของตัวแปรทั้งสองมีค่าคงที่

ตัวแปร $y$ จะแปรผกผันกับ $x$ หากมีค่าคงที่ $k$ ที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งทำให้เกิดสมการ:

$y = \frac{k}{x}$ หรือ $xy = k$

กราฟของตัวแปรที่แปรผกผันกันบนระนาบพิกัดฉากจะเป็นรูป ไฮเปอร์โบลา (Rectangular Hyperbola) โดยที่ผลคูณของค่า $x$ และ $y$ ในทุกจุดบนเส้นโค้งจะเท่ากับค่าคงที่ $k$ เสมอ และเนื่องจาก $x$ และ $y$ ไม่สามารถเป็นศูนย์ได้ กราฟจึงไม่ตัดแกน x หรือแกน y

ข้อแตกต่างระหว่างการแปรผันตรงและการแปรผกผัน