เศษส่วนหนึ่งหน่วย (Unit Fraction) คืออะไร? พร้อมตัวอย่างและวิธีคำนวณ
สรุปใจความสำคัญ
- เศษส่วนหนึ่งหน่วยคือเศษส่วนที่มีตัวเศษเป็น 1 และตัวส่วนเป็นจำนวนนับบวก
- การคูณเศษส่วนหนึ่งหน่วยสองจำนวนจะได้ผลลัพธ์เป็นเศษส่วนหนึ่งหน่วยเสมอ
- จำนวนตรรกยะทุกจำนวนสามารถเขียนในรูปผลรวมของเศษส่วนหนึ่งหน่วยที่แตกต่างกัน (เศษส่วนอียิปต์)
เศษส่วนหนึ่งหน่วย (Unit Fraction) คือ เศษส่วนที่เป็นบวกซึ่งมีตัวเศษเป็น 1 (เขียนในรูป 1/n) โดยที่ตัวส่วน (n) จะต้องเป็นจำนวนนับที่เป็นบวก เศษส่วนหนึ่งหน่วยคือส่วนกลับของการคูณ (multiplicative inverse) ของตัวส่วนนั้นๆ ตัวอย่างเช่น 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 เป็นต้น เมื่อวัตถุหนึ่งชิ้นถูกแบ่งออกเป็นส่วนๆ ที่เท่ากัน แต่ละส่วนที่ได้จะถือเป็นเศษส่วนหนึ่งหน่วยของทั้งหมด
การคำนวณทางคณิตศาสตร์
เศษส่วนหนึ่งหน่วยคือจำนวนตรรกยะที่สามารถเขียนได้ในรูปแบบ 1/n โดยที่ n เป็นจำนวนนับบวกใดๆ
การคำนวณพื้นฐาน
การคูณเศษส่วนหนึ่งหน่วยสองจำนวนจะได้ผลลัพธ์เป็นเศษส่วนหนึ่งหน่วยเสมอ:
1/x × 1/y = 1/xy
อย่างไรก็ตาม การบวก การลบ หรือการหารเศษส่วนหนึ่งหน่วย โดยทั่วไปแล้วจะไม่ส่งผลให้ได้เศษส่วนหนึ่งหน่วย:
- การบวก: 1/x + 1/y = (x+y)/xy
สูตรการบวกเศษส่วนหนึ่งหน่วย - การลบ: 1/x - 1/y = (y-x)/xy
สูตรการลบเศษส่วนหนึ่งหน่วย - การหาร: 1/x ÷ 1/y = y/x
สูตรการหารเศษส่วนหนึ่งหน่วย
จากสูตรการหารข้างต้น จะเห็นได้ว่าทุกเศษส่วนสามารถแสดงเป็นผลหารของเศษส่วนหนึ่งหน่วยสองจำนวนได้
เลขคณิตมอดุลาร์ (Modular Arithmetic)
ในทางเลขคณิตมอดุลาร์ เศษส่วนหนึ่งหน่วยสามารถแปลงเป็นจำนวนเต็มที่เทียบเท่ากันได้โดยใช้อัลกอริทึมของยุคลิดแบบขยาย (Extended Euclidean Algorithm) ซึ่งช่วยให้การหารมอดุลาร์สามารถทำได้โดยการเปลี่ยนการหารด้วย x ให้เป็นการคูณด้วยจำนวนเต็ม a ที่เป็นส่วนกลับมอดุลาร์
หาก x และ y เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน (relatively prime) เราสามารถหาจำนวนเต็ม a และ b ที่สอดคล้องกับเอกลักษณ์ของเบซู (Bézout's identity) ได้ดังนี้: ax + by = gcd(x, y) = 1 ซึ่งในมอดุลาร์ y จะทำให้ by กลายเป็น 0 และเหลือเพียง ax ≡ 1 (mod y) ดังนั้น a จึงเป็นส่วนกลับมอดุลาร์ของ x และการหารด้วย x (มอดุลาร์ y) สามารถทำได้โดยการคูณด้วยจำนวนเต็ม a แทน
การประยุกต์ใช้และคุณสมบัติอื่นๆ
จำนวนตรรกยะทุกจำนวนสามารถเขียนได้ในรูปของผลรวมของเศษส่วนหนึ่งหน่วยที่แตกต่างกัน ซึ่งเรียกว่า เศษส่วนอียิปต์ (Egyptian Fractions) ซึ่งมีที่มาจากคณิตศาสตร์โบราณของอียิปต์
ในทางเรขาคณิต เศษส่วนหนึ่งหน่วยถูกนำมาใช้เพื่อระบุลักษณะความโค้งของกลุ่มสามเหลี่ยม และความสัมผัสของวงกลมฟอร์ด (Ford circles) นอกจากนี้ยังถูกนำมาใช้ในการแบ่งส่วนที่ยุติธรรม (fair division) และในทฤษฎีความน่าจะเป็นตามหลักการแห่งความไม่ลำเอียง (principle of indifference)
คำถามที่พบบ่อย
เศษส่วนหนึ่งหน่วยคืออะไร?
คือเศษส่วนที่เป็นบวกที่มีตัวเศษเป็น 1 เช่น 1/2, 1/3, 1/4 เป็นต้น
การคูณเศษส่วนหนึ่งหน่วยจะได้ผลลัพธ์เป็นอย่างไร?
การคูณเศษส่วนหนึ่งหน่วยสองจำนวนจะส่งผลให้ได้ผลลัพธ์ที่เป็นเศษส่วนหนึ่งหน่วยเสมอ
เศษส่วนอียิปต์คืออะไร?
คือการเขียนจำนวนตรรกยะในรูปของผลรวมของเศษส่วนหนึ่งหน่วยที่แตกต่างกัน
