การทดสอบอัตราส่วนความน่าจะเป็นแบบลำดับ

การทดสอบอัตราส่วนความน่าจะเป็นแบบลำดับ (Sequential Probability Ratio Test หรือ SPRT) เป็นวิธีการทดสอบสมมติฐานทางสถิติรูปแบบหนึ่งที่พัฒนาโดย Abraham Wald และต่อมาได้รับการพิสูจน์ว่ามีประสิทธิภาพสูงสุดโดย Wald และ Jacob Wolfowitz แนวคิดนี้ได้รับแรงบันดาลใจจากผลลัพธ์ของ Neyman และ Pearson ในปี 1933 โดย Wald ได้นำมาปรับปรุงให้เป็นปัญหาการวิเคราะห์แบบลำดับ (Sequential Analysis)

ในขณะที่บทเรียนของ Neyman-Pearson จะให้กฎเกณฑ์สำหรับการตัดสินใจเมื่อเก็บข้อมูลครบถ้วนแล้ว แต่ SPRT อนุญาตให้ผู้ทดสอบตัดสินใจได้ทันทีที่ข้อมูลมีเพียงพอที่จะปฏิเสธหรือยอมรับสมมติฐาน โดยไม่ต้องรอให้เก็บข้อมูลจนครบจำนวนที่กำหนดไว้ล่วงหน้า ซึ่งทำให้ SPRT ถูกนำไปใช้อย่างแพร่หลายในการควบคุมคุณภาพในภาคการผลิต และการทดสอบแบบคอมพิวเตอร์สำหรับผู้สอบเพื่อกำหนดเกณฑ์การสิ้นสุดการทดสอบ

ทฤษฎีและการทำงาน

เช่นเดียวกับการทดสอบสมมติฐานแบบดั้งเดิม SPRT เริ่มต้นด้วยคู่สมมติฐาน คือ สมมติฐานว่าง (Null Hypothesis, $H_0$) และสมมติฐานทางเลือก (Alternative Hypothesis, $H_1$)

การกำหนดสมมติฐานมักอยู่ในรูปของพารามิเตอร์ เช่น:

การคำนวณและเกณฑ์การตัดสินใจ

ขั้นตอนต่อไปคือการคำนวณผลรวมสะสมของลอการิทึมของอัตราส่วนความน่าจะเป็น (Cumulative sum of the log-likelihood ratio) เมื่อมีข้อมูลใหม่เข้ามา โดยกำหนดให้ $S_0 = 0$ และสำหรับข้อมูลลำดับที่ $i$ จะคำนวณได้ดังนี้:

กฎการหยุด (Stopping Rule) จะใช้เกณฑ์การตัดสินใจแบบค่าขีดจำกัด (Thresholding Scheme) ดังนี้:

• $a < S_i < b$: ให้ทำการติดตามและเก็บข้อมูลต่อไป (อยู่ในช่วงวิกฤต)
• $S_i \geq b$: ยอมรับสมมติฐานทางเลือก $H_1$ และหยุดการทดสอบ
• $S_i \leq a$: ยอมรับสมมติฐานว่าง $H_0$ และหยุดการทดสอบ

การกำหนดค่าขีดจำกัด (Thresholds)

ค่า $a$ และ $b$ (โดยที่ $a < 0 < b < \infty$) จะขึ้นอยู่กับความคลาดเคลื่อนประเภทที่ 1 ($\alpha$) และความคลาดเคลื่อนประเภทที่ 2 ($\beta$) ที่ยอมรับได้ ซึ่งกำหนดได้โดยประมาณดังนี้:

สูตรการคำนวณโดยประมาณคือ:

$$a \approx \log \frac{\beta}{1-\alpha}$$ และ $$b \approx \log \frac{1-\beta}{\alpha}$$

เหตุผลที่ใช้การประมาณค่าเนื่องจากในกรณีของข้อมูลแบบไม่ต่อเนื่อง (Discrete case) สัญญาณอาจข้ามขีดจำกัดระหว่างตัวอย่าง ทำให้การตั้งค่าขีดจำกัดอาจต้องปรับตามความเสี่ยงของความผิดพลาดและความถี่ในการสุ่มตัวอย่าง ส่วนในกรณีข้อมูลแบบต่อเนื่อง (Continuous case) ค่าขีดจำกัดเหล่านี้จะมีความแม่นยำสูง

ตัวอย่างการใช้งาน

ตัวอย่างคลาสสิกคือการประมาณค่าพารามิเตอร์ของฟังก์ชันการกระจายความน่าจะเป็น เช่น การกระจายแบบเอกซ์โพเนนเชียล (Exponential Distribution):

โดยกำหนดสมมติฐานดังนี้: