ระบบแฮมิลโทเนียนแบบซูเปอร์อินทิเกรเบิล

ในทางคณิตศาสตร์ ระบบแฮมิลโทเนียนแบบซูเปอร์อินทิเกรเบิล (Superintegrable Hamiltonian system) คือระบบแฮมิลโทเนียนที่นิยามบนแมนิโฟลด์ซิมเพล็กติก (Symplectic manifold) ขนาด $2n$ มิติ ซึ่งมีคุณสมบัติพิเศษในการมีจำนวนตัวแปรคงที่ของการเคลื่อนที่มากกว่าระบบอินทิเกรเบิลทั่วไป

เงื่อนไขของระบบซูเปอร์อินทิเกรเบิล

ระบบแฮมิลโทเนียนจะถูกจัดว่าเป็นแบบซูเปอร์อินทิเกรเบิลเมื่อเป็นไปตามเงื่อนไขดังต่อไปนี้:

• การมีอยู่ของอินทิกรัลของการเคลื่อนที่: มีอินทิกรัลของการเคลื่อนที่ (Integrals of motion) ที่เป็นอิสระต่อกันจำนวน $k$ ตัว โดยที่ $k > n$ ซึ่งพื้นผิวระดับ (Level surfaces) หรือแมนิโฟลด์ไม่แปรเปลี่ยน (Invariant submanifolds) ของอินทิกรัลเหล่านี้จะสร้างแมนิโฟลด์แบบไฟเบอร์ (Fibered manifold) $F: Z \to N = F(Z)$ เหนือเซตเปิดที่เชื่อมต่อกัน $N \subset \mathbb{R}^k$
• วงเล็บปัวซอง: มีฟังก์ชันจริงที่ราบเรียบ $s_{ij}$ บน $N$ ซึ่งทำให้วงเล็บปัวซอง (Poisson bracket) ของอินทิกรัลของการเคลื่อนที่เขียนได้ในรูป:
  $$\{F_i, F_j\} = s_{ij} \circ F$$
• ค่าคอร์ังค์ (Corank): ฟังก์ชันเมทริกซ์ $s_{ij}$ จะต้องมีค่าคอร์ังค์คงที่ $m = 2n - k$ บน $N$

ความแตกต่างจากระบบอินทิเกรเบิลสมบูรณ์

หากค่า $k = n$ ระบบดังกล่าวจะกลายเป็น ระบบแฮมิลโทเนียนแบบอินทิเกรเบิลสมบูรณ์ (Completely integrable Hamiltonian system) ซึ่งเป็นกรณีพื้นฐานที่สามารถแก้สมการการเคลื่อนที่ได้ด้วยวิธีแยกตัวแปร

ทฤษฎีบทของ Mishchenko-Fomenko

ทฤษฎีบทของ Mishchenko-Fomenko เป็นการขยายความทฤษฎีบทของ Liouville-Arnold ซึ่งใช้กับระบบอินทิเกรเบิลสมบูรณ์ โดยนำมาประยุกต์ใช้กับระบบซูเปอร์อินทิเกรเบิล ดังนี้:

หากแมนิโฟลด์ไม่แปรเปลี่ยนของระบบซูเปอร์อินทิเกรเบิลมีความเชื่อมต่อ เป็นคอมแพกต์ (Compact) และมีลักษณะทางดิฟฟีโอมอร์ฟิซึม (Diffeomorphic) ต่อกัน แมนิโฟลด์แบบไฟเบอร์ $F$ จะเป็นไฟเบอร์บันเดิล (Fiber bundle) ในรูปของทอรัส $T^m$

ในบริเวณใกล้เคียงเปิด $U$ ของ $F$ จะมีพิกัดบันเดิล (พิกัดแอคชัน-แองเกิลแบบทั่วไป) $(I_A, p_i, q^i, \phi^A)$ โดยที่ $A = 1, \dots, m$ และ $i = 1, \dots, n-m$ ซึ่ง $\phi^A$ คือพิกัดบน $T^m$ พิกัดเหล่านี้เป็นพิกัดดาร์บ็อกซ์ (Darboux coordinates) บนแมนิโฟลด์ซิมเพล็กติก $U$ และแฮมิลโทเนียนของระบบจะขึ้นอยู่กับตัวแปรแอคชัน $I_A$ เท่านั้น ซึ่งเป็นฟังก์ชันคาซิมียร์ (Casimir functions) ของโครงสร้างปัวซองที่ถูกเหนี่ยวนำบน $F(U)$

กรณีแมนิโฟลด์ไม่เป็นคอมแพกต์

สำหรับกรณีที่แมนิโฟลด์ไม่แปรเปลี่ยนไม่เป็นคอมแพกต์ ทั้งทฤษฎีบท Liouville-Arnold และ Mishchenko-Fomenko สามารถขยายผลได้ โดยแมนิโฟลด์ดังกล่าวจะมีลักษณะดิฟฟีโอมอร์ฟิซึมเป็นรูปทรงกระบอกทอรัส (Toroidal cylinder) $T^{m-r} \times \mathbb{R}^r$