เทนเซอร์ฟราดคิน กฎการอนุรักษ์ในตัวแกว่งกังวานหลายมิติ

เทนเซอร์ฟราดคิน (Fradkin tensor) หรือที่รู้จักในชื่อ เทนเซอร์จาวช์-ฮิลล์-ฟราดคิน (Jauch-Hill-Fradkin tensor) เป็นกฎการอนุรักษ์ทางฟิสิกส์ที่ใช้ในการวิเคราะห์ตัวแกว่งกังวานหลายมิติแบบไอโซโทรปิก (Isotropic multidimensional harmonic oscillator) ในทางกลศาสตร์คลาสสิก สำหรับในทางกลศาสตร์ควอนตัม แนวคิดนี้จะถูกแทนที่ด้วย ตัวดำเนินการฟราดคิน (Fradkin operator) ซึ่งมีค่าเป็นเทนเซอร์

ความสำคัญของเทนเซอร์ฟราดคินคือการให้ปริมาณอนุรักษ์ที่เพียงพอที่จะทำให้สมการการเคลื่อนที่ของตัวแกว่งกังวานมีคุณสมบัติเป็น ซูเปอร์อินทิเกรเบิลสูงสุด (Maximally superintegrable) ซึ่งหมายความว่าในการหาเส้นทางการเคลื่อนที่ของระบบ เราไม่จำเป็นต้องแก้สมการเชิงอนุพันธ์ แต่สามารถหาคำตอบได้โดยใช้สมการเชิงพีชคณิตเท่านั้น

ในลักษณะที่คล้ายคลึงกับเวกเตอร์ลาปลาส-รันเก-เลนซ์ (Laplace–Runge–Lenz vector) ในปัญหาของเคปเลอร์ เทนเซอร์ฟราดคินเกิดขึ้นจาก สมมาตรที่ซ่อนอยู่ (Hidden symmetry) ของตัวแกว่งกังวาน

นิยามทางคณิตศาสตร์

กำหนดให้แฮมิลโทเนียน (Hamiltonian) ของตัวแกว่งกังวานคือ

โดยที่:

• $\vec{p}$ คือ โมเมนตัม (Momentum)

  

• $m$ คือ มวล (Mass)

  

• $\omega$ คือ ความถี่เชิงมุม (Angular frequency)

  

• $\vec{x}$ คือ การกระจัด (Displacement)

  

เทนเซอร์ฟราดคิน (โดยไม่คำนึงถึงการปรับบรรทัดฐาน) นิยามได้ดังนี้:

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ค่าแฮมิลโทเนียน $H$ สามารถหาได้จากรอย (Trace) ของเทนเซอร์:

เทนเซอร์ฟราดคินเป็นเมทริกซ์สมมาตร และสำหรับตัวแกว่งกังวานใน $n$ มิติ จะมีสมาชิกที่เป็นอิสระต่อกันจำนวน $\frac{n(n+1)}{2}-1$ ตัว ตัวอย่างเช่น ใน 3 มิติ จะมีสมาชิกอิสระ 5 ตัว

คุณสมบัติทางฟิสิกส์

• ความตั้งฉากกับโมเมนตัมเชิงมุม: เทนเซอร์ฟราดคินตั้งฉากกับโมเมนตัมเชิงมุม $\vec{L} = \vec{x} \times \vec{p}$ โดยมีความสัมพันธ์ $F_{ij}L_j = 0$

  

  

• ความสัมพันธ์กับการกระจัด: เมื่อนำเทนเซอร์ฟราดคินมาคูณกับเวกเตอร์การกระจัด จะได้ความสัมพันธ์ $x_i F_{ij} x_j = E\vec{x}^2 - \frac{\vec{L}^2}{2m}$

  

• ตัวสร้างกลุ่ม SU(3): ใน 3 มิติ องค์ประกอบอิสระ 5 ตัวของเทนเซอร์ฟราดคิน ร่วมกับองค์ประกอบ 3 ตัวของโมเมนตัมเชิงมุม จะกลายเป็นตัวสร้าง (Generators) ทั้ง 8 ของกลุ่มยูนิทารีพิเศษ $SU(3)$

  

  โดยมีความสัมพันธ์ของวงเล็บปอยซอง (Poisson brackets) ดังนี้:

  

สัญลักษณ์ที่เกี่ยวข้องในสมการ ได้แก่ วงเล็บปอยซอง

, เดลตาโครเนคเกอร์

และเลวี-ชิวิตา

การพิสูจน์การอนุรักษ์

ในกลศาสตร์แฮมิลโทเนียน การเปลี่ยนแปลงตามเวลาของฟังก์ชัน $A$ ใดๆ ในปริภูมิเฟส (Phase space) กำหนดโดย:

สำหรับเทนเซอร์ฟราดคินของตัวแกว่งกังวาน การคำนวณจะแสดงให้เห็นว่าอนุพันธ์เทียบกับเวลาของ $F_{ij}$ มีค่าเป็นศูนย์ ซึ่งยืนยันว่าเทนเซอร์นี้เป็นปริมาณอนุรักษ์