คณิตศาสตร์เบื้องต้นของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป

คณิตศาสตร์ที่ใช้ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปมีความซับซ้อนอย่างมาก เมื่อเปรียบเทียบกับทฤษฎีการเคลื่อนที่ของนิวตัน ซึ่งในกลศาสตร์นิวตัน ความยาวของวัตถุและอัตราการไหลของเวลาจะคงที่แม้ในขณะที่วัตถุมีความเร่ง ทำให้ปัญหาจำนวนมากสามารถแก้ไขได้ด้วยพีชคณิตพื้นฐาน

อย่างไรก็ตาม ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ ความยาวของวัตถุและอัตราการไหลของเวลาจะเปลี่ยนแปลงอย่างเห็นได้ชัดเมื่อความเร็วของวัตถุเข้าใกล้ความเร็วแสง ส่งผลให้ต้องมีการใช้ตัวแปรที่มากขึ้นและคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนขึ้นเพื่อคำนวณการเคลื่อนที่ ด้วยเหตุนี้ ทฤษฎีสัมพัทธภาพจึงจำเป็นต้องใช้แนวคิดทางคณิตศาสตร์ขั้นสูง เช่น เวกเตอร์ (Vectors), เทนเซอร์ (Tensors), ซูโดเทนเซอร์ (Pseudotensors) และ พิกัดเส้นโค้ง (Curvilinear Coordinates)

เวกเตอร์และเทนเซอร์

เวกเตอร์ (Vectors)

ในทางคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ และวิศวกรรม เวกเตอร์แบบยุคลิด (Euclidean vector) คือวัตถุทางเรขาคณิตที่มีทั้ง ขนาด (Magnitude) และ ทิศทาง (Direction) เวกเตอร์ทำหน้าที่เสมือนตัวนำทางจากจุด A ไปยังจุด B โดยขนาดของเวกเตอร์คือระยะห่างระหว่างสองจุดนั้น และทิศทางคือทิศทางการเคลื่อนที่จาก A ไป B

การดำเนินการทางพีชคณิตหลายอย่าง เช่น การบวก การลบ การคูณ และการลบค่า สามารถนำมาประยุกต์ใช้กับเวกเตอร์ได้ โดยเป็นไปตามกฎการสลับที่ การเปลี่ยนกลุ่ม และการแจกแจง

เทนเซอร์ (Tensors)

เทนเซอร์เป็นการขยายแนวคิดของเวกเตอร์ให้ครอบคลุมทิศทางที่มากขึ้น หากจะเปรียบเทียบให้เห็นภาพ:

• สเกลาร์ (Scalar): คือตัวเลขเดี่ยวๆ ที่ไม่มีทิศทาง (วัตถุ 0 มิติ)
• เวกเตอร์ (Vector): มีขนาดและทิศทางเดียว (วัตถุ 1 มิติ) ซึ่งถือเป็นเทนเซอร์อันดับหนึ่ง (First-order tensor)
• เทนเซอร์อันดับสอง (Second-order tensor): มีขนาดและทิศทางสองชุด ซึ่งในทางคณิตศาสตร์มักแทนด้วยเมทริกซ์จัตุรัส (เช่น 2x2 หรือ 3x3)
• เทนเซอร์อันดับสาม (Third-order tensor): มีขนาดและทิศทางสามชุด แทนด้วยลูกบาศก์ของตัวเลข

การประยุกต์ใช้ในทางฟิสิกส์

เวกเตอร์เป็นพื้นฐานสำคัญในวิทยาศาสตร์กายภาพ ใช้แทนปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง เช่น ความเร็ว แรง การกระจัด ความเร่ง และโมเมนตัม นอกจากนี้ยังมี สนามเวกเตอร์ (Vector Field) ที่ใช้บรรยายสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กในแต่ละจุดของพื้นที่

สำหรับเทนเซอร์ มีการประยุกต์ใช้อย่างกว้างขวางในฟิสิกส์ขั้นสูง เช่น:

• เทนเซอร์แม่เหล็กไฟฟ้า (Electromagnetic tensor): ใช้ในทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้า
• เทนเซอร์ความเค้น-พลังงาน (Stress-energy tensor): ใช้ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปเพื่อแทนการไหลของโมเมนตัมและพลังงาน
• เทนเซอร์การเสียรูป (Deformation tensors): ใช้ในกลศาสตร์ของตัวกลางต่อเนื่องเพื่ออธิบายการเปลี่ยนแปลงรูปร่างของวัตถุ