การวิเคราะห์ความแปรปรวนพหุตัวแปร (MANOVA)

การวิเคราะห์ความแปรปรวนพหุตัวแปร หรือ MANOVA (Multivariate Analysis of Variance) คือกระบวนการทางสถิติที่ใช้ในการเปรียบเทียบค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่าง โดยมีความแตกต่างจากการวิเคราะห์ความแปรปรวนแบบตัวแปรเดียว (ANOVA) ตรงที่ MANOVA จะพิจารณา ตัวแปรตาม (Dependent Variables) ตั้งแต่สองตัวแปรขึ้นไปพร้อมกัน ซึ่งช่วยให้นักวิจัยสามารถวิเคราะห์ความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรตามเหล่านั้นได้ในขณะที่ทดสอบความแตกต่างระหว่างกลุ่ม

แบบจำลองทางสถิติ

ในทางสถิติ MANOVA จะสมมติว่าข้อมูลมีการแจกแจงแบบปกติพหุตัวแปร (Multivariate Normal Distribution) โดยมีแบบจำลองพื้นฐานดังนี้:

• กำหนดให้ $n$ คือจำนวนการสังเกต และ $q$ คือมิติของตัวแปร (จำนวนตัวแปรตาม)
• การสังเกตครั้งที่ $i$ (แทนด้วย $y_i$) จะถูกจัดอยู่ในกลุ่ม $g(i)$ จากทั้งหมด $m$ กลุ่ม
• ค่าที่สังเกตได้จะกระจายตัวรอบค่าเฉลี่ยของกลุ่ม $\mu^{(g(i))}$ โดยมีสัญญาณรบกวนแบบเกาส์เซียนพหุตัวแปร (Multivariate Gaussian Noise) $\varepsilon_i$ ซึ่งมีการแจกแจงแบบ $\mathcal{N}_q(0, \Sigma)$ โดยที่ $\Sigma$ คือเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม (Covariance Matrix)

สมมติฐานหลัก (Null Hypothesis, $H_0$) ของ MANOVA คือ ค่าเฉลี่ยของทุกกลุ่มมีค่าเท่ากันในทุกตัวแปรตาม: $H_0: \mu^{(1)} = \mu^{(2)} = \dots = \mu^{(m)}$

ความสัมพันธ์กับ ANOVA

MANOVA เป็นรูปแบบทั่วไป (Generalized form) ของ การวิเคราะห์ความแปรปรวน (ANOVA) โดยมีความแตกต่างที่สำคัญดังนี้:

• การใช้ความแปรปรวนร่วม: ในขณะที่ ANOVA พิจารณาเพียงความแปรปรวนของตัวแปรเดียว MANOVA จะใช้เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม (Covariance) ระหว่างตัวแปรตามหลายตัวเพื่อทดสอบนัยสำคัญทางสถิติของความแตกต่างของค่าเฉลี่ย
• โครงสร้างข้อมูล: ใน ANOVA จะใช้ผลรวมกำลังสอง (Sums of Squares) แต่ใน MANOVA จะใช้เมทริกซ์ที่เป็นบวกแน่นอน (Positive-definite matrices) ซึ่งสมาชิกในแนวทแยงมุมคือผลรวมกำลังสองแบบเดียวกับ ANOVA ส่วนสมาชิกนอกแนวทแยงมุมคือผลรวมของผลคูณ (Sums of products)
• การแจกแจง: ภายใต้ข้อสมมติเรื่องการแจกแจงแบบปกติของความคลาดเคลื่อน ผลรวมกำลังสองของความคลาดเคลื่อนใน MANOVA จะมีการแจกแจงแบบวิชาร์ต (Wishart distribution)

การทดสอบสมมติฐาน

ในการทดสอบสมมติฐานของ MANOVA จะมีการสร้างเมทริกซ์เพื่อวิเคราะห์ความแตกต่างระหว่างกลุ่มและภายในกลุ่ม โดยใช้เมทริกซ์ดังต่อไปนี้:

• เมทริกซ์ Y: เมทริกซ์ข้อมูลที่มีแถวที่ $i$ เท่ากับค่าการสังเกต $y_i$
• เมทริกซ์ $\hat{Y}$: เมทริกซ์ที่แถวที่ $i$ คือค่าพยากรณ์ที่ดีที่สุดตามกลุ่มที่สังกัด (ค่าเฉลี่ยของกลุ่มนั้นๆ)
• เมทริกซ์ $\bar{Y}$: เมทริกซ์ที่แถวที่ $i$ คือค่าเฉลี่ยรวมของการสังเกตทั้งหมด (Empirical mean)

จากนั้นจะมีการคำนวณเมทริกซ์ $S_{\text{model}}$ (ความแปรปรวนระหว่างกลุ่ม) และ $S_{\text{error}}$ (ความแปรปรวนภายในกลุ่ม) เพื่อนำไปใช้ในการทดสอบสถิติ เช่น Wilks' Lambda, Pillai's Trace หรือ Hotelling's Trace เพื่อตัดสินใจว่าจะปฏิเสธสมมติฐานหลักหรือไม่