รูปดาวหลายเหลี่ยม เรขาคณิตและคุณสมบัติ

ในทางเรขาคณิต รูปดาวหลายเหลี่ยม (Star Polygon) คือรูปหลายเหลี่ยมประเภทหนึ่งที่ไม่เป็นรูปนูน (Non-convex polygon) ซึ่งมีลักษณะเด่นคือมีเส้นขอบที่ตัดกันเองภายในรูป โดยรูปดาวหลายเหลี่ยมปกติ (Regular Star Polygons) ได้รับการศึกษาอย่างละเอียดในเชิงคณิตศาสตร์ ในขณะที่รูปดาวหลายเหลี่ยมทั่วไปอาจไม่มีคำนิยามที่เป็นทางการเพียงหนึ่งเดียว แต่สามารถสร้างขึ้นได้ผ่านกระบวนการตัดมุม (Truncation) ของรูปหลายเหลี่ยมปกติทั้งแบบนูนและแบบดาว

การเรียกชื่อรูปดาวหลายเหลี่ยม

การเรียกชื่อรูปดาวหลายเหลี่ยมมักใช้การผสมคำระหว่างคำนำหน้าตัวเลข (Numeral prefix) เช่น penta- (ห้า) กับคำลงท้ายภาษากรีกว่า -gram (ซึ่งมาจากคำว่า γραμμή หรือ grammḗ ที่แปลว่า เส้น) ตัวอย่างที่เห็นได้ชัดคือ เพนทาแกรม (Pentagram) ซึ่งหมายถึงรูปดาวห้าแฉก

ในบางกรณีอาจมีการใช้คำนำหน้าจากภาษาละติน เช่น รูปดาวเก้าแฉกที่เรียกว่า enneagram (กรีก) หรือ nonagram (ละติน) ทั้งนี้ ชื่อ "รูปดาว" มีที่มาจากลักษณะของรูปทรงที่คล้ายกับเส้นแสงที่แผ่ออกมาจากดวงดาวที่เกิดจากการหักเหของแสง (Diffraction spikes)

รูปดาวหลายเหลี่ยมปกติ (Regular Star Polygon)

รูปดาวหลายเหลี่ยมปกติคือรูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านทุกด้านยาวเท่ากัน (Equilateral) และมีมุมทุกมุมเท่ากัน (Equiangular) โดยมีลักษณะเป็นเส้นตัดกันเอง (Self-intersecting)

สัญลักษณ์ Schläfli และความหนาแน่น

รูปดาวหลายเหลี่ยมปกติจะถูกแทนด้วย สัญลักษณ์ Schläfli {p/q} โดยที่:

• p คือ จำนวนจุดยอด (Vertices)
• q คือ ความหนาแน่น (Density) หรือจำนวนรอบที่เส้นลากผ่านจุดศูนย์กลางก่อนจะกลับมาบรรจบที่จุดเริ่มต้น

เงื่อนไขสำคัญคือ p และ q ต้องเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ (Relatively prime) คือไม่มีตัวหารร่วมอื่นนอกจาก 1 และ q ต้องมีค่าตั้งแต่ 2 ขึ้นไป หาก p และ q ไม่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นรูปหลายเหลี่ยมเชิงประกอบ (Polygonal compound) หรือรูปดาวที่ซ้อนทับกัน

วิธีการสร้างรูปดาวหลายเหลี่ยม

การสร้างรูปดาวหลายเหลี่ยมปกติสามารถทำได้สองวิธีหลัก ดังนี้:

1. การเชื่อมต่อจุดยอด (Vertex Connection): เริ่มจากการกำหนดจุด p จุดให้ห่างเท่าๆ กันบนวงกลม จากนั้นลากเส้นเชื่อมจากจุดหนึ่งไปยังจุดที่ q ถัดไป ทำซ้ำเช่นนี้ไปเรื่อยๆ จนกว่าเส้นจะกลับมาบรรจบที่จุดเริ่มต้น ตัวอย่างเช่น ในรูปห้าเหลี่ยมปกติ การลากเส้นจากจุดที่ 1 ไปยังจุดที่ 3, 3 ไป 5, 5 ไป 2, 2 ไป 4 และ 4 กลับมาที่ 1 จะทำให้เกิดเพนทาแกรม {5/2}
2. การสร้างดาว (Stellation): เป็นการขยายด้านของรูปหลายเหลี่ยมปกติแบบนูน (Convex regular core) ออกไปจนกว่าเส้นเหล่านั้นจะตัดกันและเกิดจุดยอดใหม่

กรณีพิเศษและรูปดาวเสื่อม (Degenerate Star Polygons)

หาก p และ q ไม่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ จะเกิดสิ่งที่เรียกว่า รูปดาวเสื่อม ซึ่งจะมีจุดยอดและเส้นขอบซ้อนทับกัน ตัวอย่างเช่น {6/2} จะมีลักษณะภายนอกเหมือนรูปสามเหลี่ยม แต่ในทางเรขาคณิตถือเป็นรูปหกเหลี่ยมที่ลากเส้นวนรอบจุดศูนย์กลางสองรอบ (Double-winding single unicursal hexagon) ไม่ใช่รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่วางซ้อนกัน

ความแตกต่างระหว่าง Polygram และ Star Polygon

คำว่า Polygram เป็นคำที่ครอบคลุมกว้างกว่า โดยรวมถึงทั้งรูปดาวหลายเหลี่ยม (เช่น เพนทาแกรม) และรูปหลายเหลี่ยมเชิงประกอบ (Compound figures) เช่น เฮกซาแกรม (Hexagram) หรือดาวหกแฉก ซึ่งเกิดจากรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าสองรูปวางซ้อนทับกัน