ปัญหา Three Prisoners Problem ไขปริศนาความน่าจะเป็น

ปัญหา Three Prisoners Problem หรือปัญหาผู้ต้องขังสามคน เป็นปริศนาทางคณิตศาสตร์ที่น่าสนใจซึ่งปรากฏครั้งแรกในคอลัมน์ "Mathematical Games" ของ Martin Gardner ในปี 1959 ปัญหานี้มีความคล้ายคลึงกันอย่างมากกับ Monty Hall Problem โดยเปลี่ยนจากรถยนต์และแพะเป็นอิสรภาพและการประหารชีวิต

ปัญหา

มีผู้ต้องขังสามคนคือ A, B และ C ซึ่งถูกตัดสินประหารชีวิต แต่ผู้ว่าการรัฐได้สุ่มเลือกหนึ่งคนที่จะได้รับการอภัยโทษ โดยที่พัศดีรู้ว่าใครคือผู้โชคดี แต่ไม่ได้รับอนุญาตให้บอกตรงๆ

นักโทษ A ขอให้พัศดีบอกชื่อผู้ต้องขังอีกสองคนหนึ่งที่ต้องถูกประหารชีวิต โดยมีเงื่อนไขว่า:

• หาก B จะได้รับการอภัยโทษ ให้บอกชื่อ C
• หาก C จะได้รับการอภัยโทษ ให้บอกชื่อ C
• หาก A จะได้รับการอภัยโทษ ให้สุ่มเลือก (โยนเหรียญ) เพื่อบอกชื่อ B หรือ C

พัศดีตอบว่า "B จะถูกประหารชีวิต"

นักโทษ A รู้สึกดีใจเพราะเขาเชื่อว่าโอกาสรอดชีวิตของเขาเพิ่มขึ้นจาก 1/3 เป็น 1/2 เนื่องจากตอนนี้เหลือเพียงเขากับ C เท่านั้น ส่วนนักโทษ C ซึ่งทราบข่าวนี้ กลับคิดว่าโอกาสรอดชีวิตของ A ยังคงเป็น 1/3 แต่โอกาสของตนเองเพิ่มขึ้นเป็น 2/3

ใครเป็นฝ่ายถูกต้อง?

วิธีแก้ปัญหา

คำตอบคือ นักโทษ C เป็นฝ่ายถูกต้อง นักโทษ A ไม่ได้รับข้อมูลใหม่ที่เปลี่ยนความน่าจะเป็นของตนเอง เนื่องจากเขารู้ล่วงหน้าอยู่แล้วว่าพัศดีจะต้องบอกชื่อใครบางคน (B หรือ C) ไม่ว่าเขาจะรอดชีวิตหรือไม่ก็ตาม

ก่อนที่พัศดีจะพูด สิ่งที่เกิดขึ้นได้มีดังนี้:

• โอกาสที่ A จะรอดชีวิตคือ 1/3
• โอกาสที่ B จะรอดชีวิตคือ 1/3
• โอกาสที่ C จะรอดชีวิตคือ 1/3

เมื่อพัศดีบอกว่า B จะถูกประหารชีวิต ความน่าจะเป็นแบบปรับปรุง (Posterior Probability) จะเปลี่ยนไปดังนี้:

• หาก C จะรอดชีวิต (โอกาส 1/3) พัศดี ต้อง บอกว่า B ถูกประหาร (โอกาส 1)
• หาก A จะรอดชีวิต (โอกาส 1/3) พัศดีพัศดีจะบอกว่า B ถูกประหาร (โอกาส 1/2)

การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์

กำหนดให้ A, B และ C คือเหตุการณ์ที่นักโทษคนนั้นได้รับการอภัยโทษ และ b คือเหตุการณ์ที่พัศดีบอกว่า B ถูกประหารชีวิต โดยใช้ ทฤษฎีบทของเบย์ส (Bayes' Theorem) เราสามารถคำนวณได้ดังนี้:

จากสูตรข้างต้น ความน่าจะเป็นที่ A จะรอดชีวิตยังคงเป็น 1/3 ในขณะที่ความน่าจะเป็นที่ C จะรอดชีวิตเพิ่มขึ้นเป็น 2/3

ความแตกต่างที่สำคัญคือ P(b|A) = 1/2 แต่ P(b|C) = 1 ซึ่งหมายความว่าหาก C จะรอดชีวิต พัศดีไม่มีทางเลือกอื่นนอกจากต้องบอกว่า B ถูกประหาร

คำอธิบายแบบเข้าใจง่าย

นักโทษ A มีโอกาสรอดชีวิตเพียง 1/3 เท่านั้น และการรู้ว่าใครระหว่าง B หรือ C จะถูกประหารไม่ให้ข้อมูลใหม่เกี่ยวกับตัวเขาเองเลย เพราะเขารู้ว่าพัศดีต้องบอกชื่อหนึ่งชื่อเสมอ

อย่างไรก็ตาม เมื่อพัศดีบอกว่า B ถูกประหาร นักโทษ A ตระหนักว่าหากเขาไม่รอดชีวิต โอกาสทั้งหมดจะตกไปอยู่ที่ C ทันที ซึ่งทำให้โอกาสรอดชีวิตของ C เพิ่มขึ้นเป็น 2/3

การแจกแจงกรณีที่เป็นไปได้

1. A รอดชีวิต และพัศดีบอกว่า B ถูกประหาร: 1/3 × 1/2 = 1/6
2. A รอดชีวิต และพัศดีบอกว่า B ถูกประหาร: 1/3 × 1/2 = 1/6
3. B รอดชีวิต และพัศดีบอกว่า B ถูกประหาร: 0 (พัศดีไม่สามารถบอกว่า B ถูกประหารได้)
4. C รอดชีวิต และพัศดีบอกว่า B ถูกประหาร: 1/3 × 1 = 1/3

เมื่อพิจารณาเฉพาะกรณีที่พัศดีบอกว่า B ถูกประหาร จะเห็นว่ามีโอกาส 1/6 สำหรับ A และ 1/3 สำหรับ C ซึ่งคิดเป็นสัดส่วน 1:2 ดังนั้น A มีโอกาสรอด 1/3 และ C มีโอกาสรอด 2/3